Inégalité de Cauchy-Schwarz
Modèle:Voir homonymes Modèle:Confusion
En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz (ICS), aussi appelée inégalité de Schwarz<ref>On trouve par exemple cette expression chez S. Lang, Analyse Réelle, InterÉditions, Paris, 1977 Modèle:ISBN, Modèle:P..</ref>, ou encore inégalité de Cauchy-Bouniakovski-Schwarz<ref>Par exemple Modèle:Ouvrage.</ref>, se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre linéaire, l'analyse avec les séries et en intégration.
Cette inégalité s'applique dans le cas d'un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou complexes muni d'un produit scalaire. Dans le cas complexe, le produit scalaire désigne une forme hermitienne définie positive. Son contexte général est donc celui d'un espace préhilbertien.
Cette inégalité possède de nombreuses applications, comme le fait d'établir l'inégalité triangulaire montrant que la racine carrée de la forme quadratique associée au produit scalaire est une norme, ou encore que le produit scalaire est continu. Elle fournit des justifications ou des éclairages dans des théories où le contexte préhilbertien n'est pas central.
Elle doit son nom à Viktor Bouniakovski, Augustin Louis Cauchy<ref>Modèle:Ouvrage</ref> et Hermann Amandus Schwarz<ref>Modèle:Article.</ref>.
Énoncé
Le théorème s'énonce couramment de la façon suivante : Modèle:Théorème
Démonstrations
Les démonstrations présentées ici sont valables aussi bien dans le cadre d'un espace préhilbertien complexe que réel, sauf bien sûr la dernière.
Lorsque y = 0, l'énoncé est clairement vrai, par conséquent on supposera y non nul.
Inégalité
Pour la première démonstration, qui est la plus connue, on suppose que le nombre ⟨x, y⟩ est un réel. On peut se ramener à cette situation (si ⟨x, y⟩ n'est pas un nombre réel) en multipliant le vecteur x (ou y) par un nombre complexe convenable de module égal à 1 (par exemple <math>\frac{\overline{\langle x,y \rangle}}{|\langle x,y \rangle|}</math>). Ceci étant, ⟨x, y⟩ devient réel sans changer de module ; ║x║ et ║y║ ne varient pas non plus<ref>A. Kirillov et A. Gvichiani, Théorèmes et problèmes d'analyse fonctionnelle, Mir, 1982, Modèle:P..</ref>.
Posons, pour tout réel t,
- <math>P(t)=\|\,x+ty\,\|^2.</math>
Sachant que, par définition, <math>\|\,x+ty\,\| = \sqrt{\langle x+ty,x+ty \rangle}</math>, la bilinéarité du produit scalaire donne alors :
- <math>\|\,x+ty\,\|^2=\|\,x\,\|^2+2t\langle x,y\rangle+ t^2\|\,y\,\|^2.
</math>
Comme y est non nul et le produit scalaire défini, ║y║2 est non nul également. Par construction, cette fonction polynomiale du second degré est positive ou nulle pour tout réel t. On en déduit que son discriminant est négatif ou nul :
- <math> 4 \langle x,y\rangle^2 - 4 \|\,x\,\|^2\|\,y\,\|^2\le 0,</math>
d'où l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Une démonstration plus directe, valable aussi bien dans le cas complexe<ref>Modèle:Note autre projet</ref> que réel et qui n'utilise pas le discriminant, est de définir <math>P(t)=\|\,x+ty\,\|^2</math> pour tout scalaire t, de poser<ref name=GaucheDroite/>
- <math>t_0=-\langle x,y\rangle/\|\,y\,\|^2</math>,
et d'utiliser que
- <math>0\le P(t_0)=\|\,x\,\|^2-|\langle x,y\rangle|^2/\|\,y\,\|^2</math>.
(Ce t0 n'est autre que la valeur en laquelle P atteint son minimum, mais cette propriété n'est pas utilisée.)
Cas d'égalité
Si (x, y) est lié alors x = λy pour un certain scalaire λ et l'on en déduit immédiatement :
- <math>|\langle x,y\rangle|=|\lambda|\ \|\,y\,\|^2=\|\,x\,\|\ \|\,y\,\|.</math>
Réciproquement, si |⟨x, y⟩| = ║x║║y║ alors le discriminant ci-dessus est nul donc P admet une racine réelle (double) t, et pour ce t on a
- <math>\|\,x+ty\,\|^2=P(t)=0,</math>
donc x = –ty, si bien que (x, y) est lié.
Ou plus directement (avec le t0 de la deuxième démonstration ci-dessus) : l'hypothèse équivaut à P(t0) = 0 donc à x = –t0y.
Démonstration géométrique
Une variante<ref name=ReedSimon>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Modèle:Lien et Barry Simon, Functional Analysis.</ref> utilise l'identité du théorème de Pythagore.
Si Modèle:Math est non nul, un calcul direct permet de voir que pour Modèle:Math, les vecteurs Modèle:Math et Modèle:Math sont orthogonaux<ref name="GaucheDroite">Dans le cas préhilbertien complexe, cela suppose que le produit scalaire hermitien <math>\langle x,y\rangle</math> est linéaire à gauche et semi-linéaire à droite ; dans le cas contraire, il faut remplacer <math>\langle x,y\rangle</math> par <math>\overline{\langle x,y\rangle}</math> dans l'expression.</ref>. Alors, par le théorème de Pythagore, on a :
- <math>\|x \|^2= \|\lambda y \|^2+ \|x-\lambda y \|^2\ge \|\lambda y \|^2=|\langle x,y\rangle |^2/ \|y \|^2,</math>
qui donne l'inégalité souhaitée.
Cette démonstration consiste en fait<ref name=ReedSimon/> à calculer la norme du projeté orthogonal du vecteur Modèle:Math sur la droite vectorielle engendrée par Modèle:Math. L'égalité correspond donc au cas où Modèle:Math et Modèle:Math sont linéairement dépendants.
Le cas particulier ℝn
Dans l'espace euclidien ℝModèle:Math muni du produit scalaire usuelModèle:Retrait une autre possibilité que les démonstrations générales ci-dessus est de déduire l'inégalité (et le cas d'égalité) d'une identité très similaire à celle de la variante géométrique, l'identité de Lagrange, qui s'écrit :
- <math>\langle x,y\rangle^2+\sum_{1\le i<j\le n}(x_iy_j-x_jy_i)^2= \|x\|^2\ \|y\|^2.</math>
Par ailleurs, l'espace euclidien ℝ2 s'identifie au plan complexe, muni du produit scalaire Modèle:Math, dont la norme associée est le module. L'inégalité de Cauchy-Schwarz et le cas d'égalité correspondent alors à deux propriétés élémentaires : <math>|\mathrm{Re}(z)|\le|z|</math> et <math>|\mathrm{Re}(z)|=|z|\Leftrightarrow z\in\R</math>.
Conséquences et applications
Conséquences
L'inégalité de Cauchy-Schwarz a des applications importantes. Elle permet notamment de montrer que l'application <math>x\mapsto\sqrt{\langle x,x\rangle}</math> est une norme car elle vérifie l'inégalité triangulaire. Une conséquence est que le produit scalaire est une fonction continue pour la topologie induite par cette norme.
Elle permet également de définir l'angle non orienté entre deux vecteurs non nuls d'un espace préhilbertien réel, par la formule :
- <math>\cos\widehat{(x,y)}=\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\| \|y\|}.</math>
Dans le cas de l'espace euclidien ℝModèle:Math muni du produit scalaire canonique, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :
- <math>\left|\sum_{i=1}^n x_{i}y_{i}\right|\leqslant\left (\sum_{i=1}^n x_{i}^{2}\right)^{1/2}\left (\sum_{i=1}^n y_{i}^{2}\right)^{1/2}</math>.
En particulier, [[Norme (mathématiques)#En dimension finie|║x║1 ≤ Modèle:Sqrt║x║2]].
Dans le cas des fonctions mesurables à valeurs complexes de carré intégrable<ref>f et g sont vues comme éléments de l'espace de Lebesgue L2 ou ℒ2, selon qu'on applique le théorème 1 énoncé en début d'article ou le théorème 2 du paragraphe Généralisation.</ref>, elle s'écrit
- <math>\left|\int f\overline g\, \right| \leqslant \left( \int |f|^2\,\right)^{1/2}\left( \int |g|^2\, \right)^{1/2}.</math>
Cette inégalité est un cas particulier des inégalités de Hölder avec p = q = 2.
Autres applications
- L'inégalité de Cauchy-Schwarz est aussi un outil fondamental de l'analyse dans les espaces de Hilbert. Grâce à elle, on peut construire une injection d'un espace préhilbertien E dans son dual topologique : pour tout vecteur y, la forme linéaire qui à x associe ⟨x,y⟩ est continue, de norme égale à celle de y. Ceci permet d'énoncer le théorème de représentation de Riesz selon lequel si E est un espace de Hilbert alors cette injection est un isomorphisme.
On la retrouve aussi dans le théorème de Lax-Milgram. - Cependant, ses applications peuvent sortir du cadre strict de l'analyse dans les espaces de Hilbert. En effet elle se retrouve parmi les ingrédients utiles à l'inégalité de Paley-Zygmund en théorie des probabilités et du traitement du signal.
En théorie des probabilités toujours, dans l'espace des variables aléatoires admettant un moment d'ordre 2, l'inégalité de Cauchy-Schwarz fournit l'inégalitéModèle:Retraitqui compare l'espérance du produit de deux variables aléatoires au produit des espérances de leurs carrés<ref>Modèle:Pdf Francine et Marc Diener, Chapitre 5 Expression et mesure de l'interdépendance, p. 27 Modèle:Lire en ligne.</ref>. Elle permet d'établir que le coefficient de corrélation de deux variables aléatoires est un réel compris entre –1 et 1<ref>Modèle:Pdf Laurent Albera, Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger), université de Rennes I, III Espérance mathématique, p. 6-7 Modèle:Lire en ligne.</ref>. - En optimisation, le cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à la dérivée directionnelle permet de justifier que le gradient donne la direction de plus grande pente.
- En physique, l'inégalité de Cauchy-Schwarz joue un rôle important dans le principe d'incertitude d'Heisenberg et a pris place dans le débat sur l'hypothèse des quanta de lumière ; il est aussi connu sous le nom de relation de Robertson-Schrödinger. En relativité, il sert à démontrer que tous les vecteurs du genre temps orientés vers le futur ont pour image un vecteur du même type (du genre temps orienté vers le futur) par une transformation de Lorentz si et seulement si cette transformation est orthochrone.
Généralisation
L'inégalité seule est vraie dans le contexte un peu plus général d'un semi-produit scalaire (Modèle:C.-à-d. sans supposer que la forme quadratique associée est définie), en notant encore ║∙║ la semi-norme associée : Modèle:Théorème
Pour démontrer ce théorème 2, il suffit<ref name=Godement /> de reprendre la preuve de l'inégalité du théorème 1 ci-dessus, en traitant à part le cas ║y║ = 0 (qui peut arriver ici car la forme quadratique n'est pas forcément définie). Dans ce cas, la positivité de Modèle:Formule rend nul ⟨x, y⟩ et l'inégalité tient aussi.
Cette inégalité fournit le corollaire suivant. Modèle:Théorème
En effet, si la forme ⟨⋅, ⋅⟩ est positive et non dégénérée et si Modèle:Formule est un vecteur de semi-norme nulle, le théorème 2 montre que pour tout vecteur Modèle:Formule on a Modèle:Math donc, par non dégénérescence, Modèle:Formule.
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie
Liens externes
- Inégalité de Cauchy-Schwarz sur bibmath.net
- Espaces préhilbertiens complexes sur les-mathematiques.net
- Espaces euclidiens par F. Wlazinski de l'université de Picardie
