Suite géométrique
Modèle:Encadré En mathématiques, une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant par multiplication par un facteur constant appelé raison. Ainsi, une suite géométrique a la forme suivante :
- <math>a,\ aq,\ aq^2,\ aq^3,\ aq^4,\ \ldots</math>
La définition peut s'écrire sous la forme d'une relation de récurrence, c'est-à-dire que pour chaque entier naturel Modèle:Mvar :
- <math>u_{n+1} =q\times u_n\ ;\ \ u_0=a</math>.
Le qualificatif « géométrique » réfère au fait que, dans une suite géométrique à termes positifs, un terme quelconque (à l'exception du premier) est égal à la moyenne géométrique du terme qui le précède et de celui qui lui succède.
Cette relation est caractéristique de la progression géométrique qui se retrouve par exemple dans l'évolution d'un compte bancaire à intérêts composés ou la composition des intervalles musicaux. Elle permet aussi de modéliser une croissance exponentielle (dans laquelle la variation est proportionnelle à la quantité) par un processus en temps discret.
Les suites géométriques satisfont une formule générale pour le calcul des termes ainsi que pour la série associée. Elles peuvent aussi servir à calculer des solutions particulières pour les relations de récurrence linéaires.
Champ d'applications
La suite géométrique est un outil privilégié pour l'étude de phénomènes à croissance ou décroissance exponentielle (elle est l'équivalent discret d'une fonction exponentielle), ou encore l'étude de populations dont la taille double ou diminue de moitié dans un intervalle de temps constant (période). Modèle:Exemple
On observe des suites géométriques dans la nature. Par exemple, le système planétaire HD 158259 comporte quatre à six planètes dont les périodes orbitales forment presque une suite géométrique de raison Modèle:Sfrac<ref name=uniGe2020>Modèle:Lien web.</ref>.
On retrouve les suites géométriques dans le système bancaire avec le calcul des intérêts composés. Modèle:Exemple
On les retrouve aussi en musicologie. En partant d'une certaine fréquence initiale, la suite des octaves correspond à une progression géométrique de raison 2 (en allant vers l'aigu), la suite des quintes pures (celles de l'accord pythagoricien) à une progression géométrique de raison 3/2, la suite des demi-tons de la gamme tempérée à une progression géométrique de raison la racine douzième de 2. La gamme tempérée n'utilise que douze quintes pures, (3/2)12 ≈ 129,746, qui valent « presque » 7 octaves, 27 = 128, c'est-à-dire que deux suites géométriques de même valeur initiale, l'une de raison 3/2 l'autre de raison 2, qui ne peuvent coïncider de façon précise en aucun point, coïncident de façon approchée pour ces valeurs.
Terme général
Si K est un corps commutatif – par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes) – et si <math>(u_n )_{n\in\N}</math> est une suite géométrique de K de raison q ∈ K alors, pour tout entier naturel n :
- <math>u_n = u_0 q^n</math>
(y compris si Modèle:Math et Modèle:Math sont nuls, avec la convention 00 = 1).
Une suite géométrique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme et par sa raison q.
Une suite géométrique peut aussi être définie à partir d'un rang quelconque Modèle:Math, soit, pour tout Modèle:Math, par :
- <math>u_n=u_{n_0}q^{n-n_0}</math>
qui suit la même relation de récurrence. Ce cas se ramène au cas précédent en posant Modèle:Math qui est géométrique de même raison que Modèle:Mvar à partir de Modèle:Math.
Sens de variation et convergence
On supposera Modèle:Math non nul.
Sens de variation
Ce paragraphe concerne les suites géométriques à valeurs dans ℝ.
- si Modèle:Math la suite n'est pas monotone et oscille alternativement dans les nombres négatifs et positifs. Elle est dite alternée.
- si <math>q \in[0 ; 1[</math>
- si Modèle:Math, la suite est décroissante positive
- si Modèle:Math, la suite est croissante négative
- si <math>q \in ]1 ; + \infty[</math>
- si Modèle:Math, la suite est croissante positive
- si Modèle:Math, la suite est décroissante négative
- si Modèle:Math la suite est constante.
Convergence
Dans ℝ
- si <math>q < -1\,</math>, la suite diverge et ne possède pas de limite. Dans Modèle:Surligner, les valeurs d'adhérence sont Modèle:Math et Modèle:Math.
- si <math>q = - 1\,</math>, la suite diverge et possède deux valeurs d'adhérence : Modèle:Math et Modèle:Math
- si <math>|q| < 1\,</math>, la suite converge vers 0
- si <math>q = 1\,</math>, la suite est constante et converge vers Modèle:Math
- si <math>q > 1\,</math>, la suite est divergente mais possède une limite égale à
- <math>+ \infty</math> pour Modèle:Math
- <math>- \infty</math> pour Modèle:Math
Modèle:Démonstration/début Supposons, sans perte de généralité, Modèle:Math.
Le cas Modèle:Math se ramène au cas Modèle:Math en examinant les deux sous-suites d'indices pairs et d'indices impairs. Les cas Modèle:Math et Modèle:Math sont immédiats.
- Si Modèle:Math alors<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> la suite Modèle:Math est décroissante et positive, donc converge vers un réel Modèle:Math. La suite Modèle:Math converge donc à la fois vers Modèle:Math — comme sous-suite de Modèle:Math, ou par le théorème des gendarmes puisque Modèle:Math — et vers Modèle:Math — comme produit de Modèle:Math par la constante Modèle:Math — donc Modèle:Math (par unicité de la limite). Comme Modèle:Math, on conclut que Modèle:Math.
- Si Modèle:Math, on peut minorer Modèle:Math, en utilisant la formule du binôme<ref>Modèle:Ouvrage, prop. 16 et Modèle:P., prop. 8.</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage, Modèle:Lang 3.20e.</ref> ou l'inégalité de Bernoulli<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> : Modèle:Math. Puisque Modèle:Math, [[Suite arithmétique#Sens de variation et convergence|la suite arithmétique Modèle:Nobr tend vers Modèle:Math]] donc la suite Modèle:Math aussi.
Remarque : en passant aux inverses, on peut déduire chacun de ces deux cas de l'autre, ou adapter la méthode de l'un pour redémontrer l'autre directement. Modèle:Démonstration/fin
Dans ℂ
- si <math>\left| q\right| <1</math>, la suite converge vers 0.
- si <math>\left| q\right| >1</math>, la suite est divergente.
- si Modèle:Math, la suite est constante et converge vers Modèle:Math.
- si <math>q \neq 1</math> et <math>\left| q\right| = 1</math>, la suite diverge.
Croissance comparée
On considère ici des suites à valeurs dans ℝ.
On démontre (par la formule du binôme ou l'inégalité de Bernoulli) que pour tout entier n et tout réel t positif, <math>(1 + t )^n \geq 1 + nt</math>. Cette inégalité permet d'affirmer qu'une suite géométrique de raison Modèle:Math et de premier terme Modèle:Mvar croît plus vite qu'une suite arithmétique de raison Modèle:Math. Cependant, en pratique, pour de petites valeurs de t et des valeurs raisonnables de Modèle:Mvar, les deux suites sont quasiment confondues. Cette approximation se justifie mathématiquement par le développement limité à l'ordre 1 lorsque t tend vers 0 : <math>(1+t)^n=1 + nt + o(t)</math> qui fournit l'approximation : <math>~(1+t)^n \approx 1+nt</math>.
Illustration avec a = 1 000 et t = 0,004, soit une raison a×t = 4 :
| n | suite arithmétique | suite géométrique |
| 0 | 1 000 | 1 000 |
| 1 | 1 004 | 1 004 |
| 2 | 1 008 | 1 008,016 |
| 3 | 1 012 | 1 012,048 |
| 4 | 1 016 | 1 016,096 |
| 5 | 1 020 | 1 020,161 |
| 6 | 1 024 | 1 024,241 |
| 7 | 1 028 | 1 028,338 |
| 8 | 1 032 | 1 032,452 |
| 9 | 1 036 | 1 036,581 |
| 10 | 1 040 | 1 040,728 |
| 11 | 1 044 | 1 044,891 |
| 12 | 1 048 | 1 049,070 |
Cette approximation permet aux financiers d'utiliser comme taux d'intérêt mensuel le Modèle:12e du taux annuel t, au lieu de prendre la valeur exacte <math> \sqrt[12]{1+t}-1</math> ; elle est d'autant meilleure que le taux est faible.
Somme des termes
Modèle:Article détaillé La somme des n + 1 premiers termes d'une suite géométrique Modèle:MathModèle:Math ∈ ℕ de raison Modèle:Math vérifie : Modèle:Retrait{1-q}\ \ (q\neq 1) </math> }} (voir l'article Série géométrique, section Terme général pour des démonstrations).
Quand q = 1, la suite est constante et u0 + … + un = (n+1)u0.
La formule se généralise à partir d'un rang m quelconque, la suite Modèle:MathModèle:Math ∈ ℕ étant également géométrique. Plus généralement si la suite Modèle:Math suit une progression géométrique entre m et n, qui est donc de longueur n - m + 1, on a la formule suivante quand la raison q est différente de 1<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :
Modèle:Retrait{1-q}= \text{premier terme}\times \dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}.</math>}}
La valeur de la somme des termes d'une progression géométrique est démontrée dans le livre IX des Éléments d'Euclide, théorème 33 proposition XXXV, pour des nombres entiers plus grands que 1 (mais par une méthode générale)<ref>Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide, traduction de D. Henrion, 1632, pp.344-345 ; une démonstration en langage algébrique moderne reposant sur le même principe est donnée dans Série géométrique#Preuve_utilisant_des_règles_de_proportionnalité.</ref>. La proposition énonce que, dans une progression géométrique, les différences entre le premier et le second terme d'une part et le premier et le dernier terme d'autre part sont proportionnelles respectivement au premier terme et à la somme de tous les termes qui précèdent le dernier. Soit en langage algébrique Modèle:Retrait{u_n-u_0}</math>}}
Exemples
- Dans la norme American Wire Gauge, la section des câbles suit une progression géométrique.
- La fréquence des notes de musique de la gamme tempérée suit une progression géométrique, de demi-ton en demi-ton.
- Les nombres préférentiels, correspondant à des valeurs normalisées en mécanique ou en électronique, sont basés sur des suites géométriques.
