Constante de Khintchine
[[File:KhinchinBeispiele.svg|thumb|Graphe des suites associées à quelques constantes (rouge : [[Pi|Modèle:Math]], bleu : [[Constante d'Euler-Mascheroni|Modèle:Math]], vert : [[Racine cubique|Modèle:Sqrt]]), qui semblent tendre vers cette constante.]] En théorie des nombres, la constante de Khintchine est la limite, pour presque tout nombre irrationnel, de la moyenne géométrique des premiers coefficients du développement en fraction continue de ce nombre. C'est un résultat démontré par Alexandre Khintchine<ref name=":0">Modèle:Ouvrage.</ref>.
On a donc, pour presque tout <math>x = a_0 + \frac1{a_1 + \frac1{a_2 + \frac1{a_3 +\dots}}} \in \R\setminus\Q</math> :
- <math>\lim_{n \rightarrow \infty } \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) ^{1/n} = K </math>.
Parmi les irrationnels qui n'ont pas cette propriété se trouvent par exemple la racine carrée de 2, celle de 3, le nombre d'or<ref group="N">En effet, pour un irrationnel quadratique, le développement en fraction continue est périodique de longueur <math>T \in \N^* </math> à partir d'un certain rang, et donc la moyenne géométrique de ses coefficients est égale à la moyenne géométrique des Modèle:Mvar coefficients, qui, dans ces trois cas, n'est pas égale à la constante de Khintchine : <math>\varphi=[\overline1]</math>, <math>\sqrt3=[1,\overline{1,2}]</math>, <math>\sqrt2=[1,\overline2]</math>, et <math>1<\sqrt2<2<K</math>.</ref> et le [[e (nombre)|nombre Modèle:Math]]<ref group="N">En effet, le [[Fraction continue et approximation diophantienne#Exemple : le nombre e|développement en fraction continue de Modèle:Math]] est <math> [2,\overline{1, 2k,1}]\quad (k\in\N^*)</math> donc d'après la formule de Stirling, la moyenne géométrique de ses <math>n</math> premiers coefficients est équivalente à <math>\sqrt[3]{\frac{2n}{3\,\mathrm e}}</math>, qui tend vers Modèle:Math.</ref>.
Parmi les irrationnels qui Modèle:Refnec (si tant est que ces deux dernières soient irrationnelles, ce qu'on ignore). Néanmoins, ces énoncés ne sont pas démontrés. On ne sait pas si K est rationnel, algébrique, ou transcendant.
La constante Modèle:Mvar possède l’expression sous forme de produit infini : <math>K= \prod_{k=1}^\infty {\left(1+{1\over k(k+2)}\right)}^{\log_2 k} </math><ref name=":0" />, et a pour développement décimal : <math>K =2{,}6854520010\dots</math><ref>Suite Modèle:OEIS2C de l'OEIS.</ref>.
Idée de la démonstration
La preuve qui suit est de Modèle:Lien<ref>Modèle:Article.</ref> et est bien plus simple que la preuve originale de Khintchine qui n'utilisait pas la théorie ergodique.
Remarquant que le coefficient a0 de la fraction continue de Modèle:Math ne joue pas de rôle, et que les nombres rationnels sont de mesure nulle, on se ramène à montrer la propriété sur <math>I=[0,1]\setminus\mathbb{Q}</math>. Soit Modèle:Mvar définie par
- <math>T([a_1,a_2,\dots])=[a_2,a_3,\dots]</math>.
La transformation Modèle:Mvar est un opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing. Pour tout borélien E de Modèle:Mvar, on définit de plus une mesure de Gauss-Kuzmin sur E
- <math>\mu(E)=\frac1{\ln 2}\int_E\frac{\mathrm dx}{1+x}</math>.
Alors μ est une mesure de probabilité sur la tribu borélienne de Modèle:Mvar. La mesure μ est équivalente à la mesure de Lebesgue sur Modèle:Mvar, mais Modèle:Mvar préserve la mesure μ. De plus, on peut montrer que Modèle:Mvar est une transformation ergodique de l'espace mesurable Modèle:Mvar muni de la mesure de probabilité μ (c'est la partie difficile). Le théorème ergodique implique alors que pour toute fonction μ-intégrable f sur Modèle:Mvar, la valeur moyenne de <math>f \left( T^k x \right)</math> est la même pour presque tout <math>x\in I</math> :
- <math>\lim_{n\to\infty} \frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}(f\circ T^k)(x)=\int_I f\,\mathrm \mu</math>.
En appliquant cela à f([a1, a2, ...]) = ln(a1), on obtient
- <math>\lim_{n\to\infty}\frac 1n\sum_{k=1}^n\ln(a_k)=\int_I f \,
\mathrm d\mu = \sum_{k=1}^\infty\ln(k)\frac{\ln\bigl(1+\frac{1}{k(k+2)}\bigr)}{\ln 2}</math>
pour presque tout [a1, a2, ...] dans Modèle:Mvar, ce qui conclut.
Autres expressions
La constante de Khintchine peut être exprimée sous la forme<ref name=":1">Modèle:Article. Dans cet article, une définition légèrement non standard de la fonction zêta de Hurwitz est utilisée.</ref>
- <math>\ln K = \frac1{\ln 2} \sum_{n=1}^\infty
\frac {\zeta (2n)-1}n\sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}k </math>,
ou encore
- <math>\ln K = \frac1{\ln 2} \left[
-\sum_{k=2}^N \ln \left(\frac{k-1}k\right) \ln \left(\frac{k+1}k\right) + \sum_{n=1}^\infty \frac {\zeta (2n,N+1)}n\sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}k \right] </math>
où Modèle:Mvar est un entier, et ζ(s, n) la fonction zêta de Hurwitz complexe. Une expression de la constante en fonction du dilogarithme :
- <math>\ln K = \ln 2 + \frac1{\ln2} \left[
\mbox{Li}_2 \left( \frac{-1}2\right) + \frac12\sum_{k=2}^\infty (-1)^k \mbox{Li}_2 \left( \frac4{k^2} \right) \right]. </math>
Généralisation aux moyennes de Hölder
On peut généraliser le résultat précédent en remplaçant la moyenne géométrique par une moyenne de Hölder d'ordre Modèle:Mvar pour tout réel non nul Modèle:Mvar < 1 : pour presque tout irrationnel, la moyenne d'ordre Modèle:Mvar des Modèle:Mvar premiers coefficients du développement en fraction continue <math>\left (\frac1n \sum_{k=1}^n a_k^p \right )^{1/p}</math> tend vers une constante <math>K_p</math><ref name=":1" />,<ref name=":2">Modèle:Lien web</ref> ayant pour valeur <math>\left(\sum_{k=1}^\infty -k^p \log_2\left( 1-\frac1{(k+1)^2} \right) \right)^{1/p}</math><ref name=":1" />,<ref name=":2" />.
- ..
La valeur de <math>K=K_0</math> est obtenue en faisant tendre Modèle:Mvar vers 0.
Dans le cas Modèle:Mvar = -1, la moyenne de Hölder est la moyenne harmonique, qui conduit à la constante
- <math>K_{-1}=1{,}74540566240\dots</math> (Modèle:OEIS).
On trouvera dans <ref>Modèle:Lien web</ref> les valeurs, avec leur lien dans l'OEIS, des constantes <math>K_p</math> pour Modèle:Mvar entier négatif.
