Puissance d'un nombre
- REDIRECT Modèle:Voir homonymes
En algèbre, une puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication répétée de ce nombre avec lui-même. Elle est souvent notée en assortissant le nombre d'un entier, typographié en exposant, qui indique le nombre de fois qu'apparaît le nombre comme facteur dans cette multiplication.
- <math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n\ \mathrm{facteurs}}</math>
Elle se lit « puissance n-ième de a », « a puissance n » ou « a exposant n ». L'entier n est appelé exposant.
En particulier, le carré et le cube sont des puissances d'exposant 2 et 3 respectivement.
Tout nombre est égal à sa propre puissance d'exposant 1, tandis que toute puissance d'exposant nul vaut 1 par convention.
Modèle:Exemple flottant Pour chaque exposant, la puissance définit donc une opération, dont la notation est prioritaire sur les autres symboles d'opérations algébriques élémentaires. L'opération binaire associée est l'exponentiation, qui se note parfois à l'aide du symbole « ^ », notamment sur les calculatrices. On trouve aussi le symbole ** dans certains langages de programmation (par exemple Python ou Ada) Modèle:Exemple flottant Lorsqu'un nombre possède un inverse, il est possible de définir ses puissances d'exposant négatif comme les puissances de cet inverse. Sous certaines conditions, il est même possible de définir des puissances d'exposant rationnel comme 1/2, qui correspond à la racine carrée pour les réels positifs. La fonction exponentielle permet ensuite d'étendre cette définition aux exposants réels ou complexes.
Les opérations algébriques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs possèdent des propriétés particulières. Les puissances de dix, comme 10−5, sont d'une utilisation régulière dans les autres sciences, notamment en physique et en chimie.
Puissance à exposant entier positif
On considère un nombre Modèle:Mvar quelconque et un entier naturel n non nul. La puissance énième de Modèle:Mvar, notée Modèle:Mvar et lue « a puissance n »<ref> Voir, par exemple, ce document d'Eduscol sur la présentation des puissances en cycle 4, chap. Introduire les puissances de dix.</ref>, ou « a exposant n » est le résultat de la multiplication de ce nombre Modèle:Mvar par lui-même n – 1 fois :
- <math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n\text{ facteurs}\atop n-1\text{ signes }\times} = \prod_{i=1}^na</math>
Le nombre Modèle:Mvar est appelé l'exposant de la puissance Modèle:Mvar.
Le nombre Modèle:Mvar est un entier naturel (donc positif) et Modèle:Mvar est une puissance à exposant entier positif de Modèle:Mvar.
- Cas particuliers
- Modèle:Math ;
- On appelle Modèle:Math la puissance carrée ou le carré de Modèle:Mvar ;
- On appelle Modèle:Math la puissance cubique ou le cube de Modèle:Mvar.
On remarque que, quel que soit l'entier naturel n non nul, 0n = 0 et 1n = 1 (ces nombres sont idempotents).
Puissance à exposant zéro
Modèle:Article connexe Pour tout réel a, on pose a0 = 1 d'après la convention sur les produits vides. Cette définition sera cohérente avec les opérations algébriques sur les puissances.
La convention 00 = 1 est utilisée dans un cadre abstrait plus large, par exemple pour identifier le polynôme X0 avec la fonction constante de valeur 1. De même, dans le cadre de la théorie des ensembles, la notation 00 peut représenter le nombre d'éléments de l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans lui-même et donc valoir 1.
Cependant, l'application <math>(x,y)\mapsto x^y = \exp(y \ln(x))</math>, bien définie sur <math>\R^*_+\times \R</math>, n'admet pas de prolongement par continuité en (0, 0), ce qui interdit le choix d'une convention acceptable en toute généralité. Néanmoins des conventions sont possibles, limitées à des domaines bien définis<ref>Modèle:Article.</ref>.
Puissance à exposant entier négatif
On considère maintenant un nombre Modèle:Mvar non nul et un entier naturel Modèle:Mvar. Le nombre a–n, lu « a puissance moins n », ou « a exposant moins n » par abus de langage, est l'inverse de la puissance n-ième de Modèle:Mvar, c'est-à-dire :
- <math display="inline">a^{-n}=\dfrac1{a^{n}}.</math>
Le nombre Modèle:Mvar est l'exposant de la puissance Modèle:Mvar.
Le nombre Modèle:Mvar étant négatif, car Modèle:Mvar est un entier naturel, Modèle:Mvar est une puissance de Modèle:Mvar à exposant négatif. On notera, en particulier, que Modèle:Math (l'inverse du nombre Modèle:Mvar).
On peut appliquer cette règle pour transformer une puissance positive en inverse d'une puissance négative :
- <math>a^n=\dfrac1{a^{-n}}</math>
Signe de l'exposant entier et signe du nombre
Il n'y a pas de rapport direct entre le signe du nombre et le signe du résultat. Celui-ci dépend de la parité de l'exposant.
Un nombre élevé à une puissance paire donne un résultat positif : si Modèle:Mvar est pair, alors Modèle:Math.
Un nombre élevé à une puissance impaire donne un résultat du même signe : si Modèle:Mvar est impair, alors Modèle:Math.
- Exemples
-
- (–2)Modèle:3, puissance cubique de –2, vaut (–2)×(–2)×(–2) = –8 < 0.
- 3–4, l'inverse de la puissance quatrième de 3, vaut
- <math>\dfrac1{3^4}=\dfrac1{3\times3\times3\times3}=\dfrac1{81}>0</math>.
- Remarque.
Il ne faut pas confondre les écritures Modèle:Math, où la puissance s'applique à Modèle:Math (signe moins compris) et Modèle:Math, où la puissance s'applique à Modèle:Mvar uniquement. En effet :
- <math>(-a)^n = (-a)\times(-a)\times(-a)\times \dots \times(-a)</math>
- <math>-a^n = - a\times a\times a\times \dots \times a</math>
Opérations algébriques sur les puissances entières
Il n'y a pas de formule générale sur les additions ou les soustractions de puissances, sauf la [[Identité remarquable#Différence ou somme de puissances|factorisation de Modèle:Mvar]] et le [[Formule du binôme de Newton|développement de Modèle:Math]].
En revanche, pour les multiplications et les divisions de puissances, on sait que pour tous nombres Modèle:Mvar et Modèle:Math et pour tous entiers naturels Modèle:Mvar et Modèle:Mvar :
- <math>a^m\times a^n=a^{m+n}</math> ;
- <math>\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\text{ si }a\ne0</math> ;
- <math>(a^m)^n=a^{m\times{n}}=a^{n\times{m}}=(a^n)^m</math> ;
- <math>(a\times{b})^n=a^{n}\times{b^n}</math> ;
- <math>\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\text{ si }b\ne0</math>.
Ces formules sont encore valables si Modèle:Mvar ou Modèle:Mvar sont des entiers strictement négatifs, à condition que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar soient non nuls.
On remarque que toutes ces formules sont cohérentes entre elles et avec la convention « Modèle:Math pour tout nombre réel Modèle:Math ». Par exemple, pour tout entier naturel Modèle:Math et pour tout réel Modèle:Math, Modèle:RetraitAttention: <math>(a^{n})^m\neq a^{(n^{m})}</math>, sauf pour des cas très particuliers ; de ce fait, l'écriture <math>a^{n^{m}}</math>est ambiguë et, bien qu'il existe une convention qui favorise la désambiguïsation <math>a^{n^{m}}=a^{(n^{m})}</math>, celle-ci devrait être évitée sans parenthésage univoque<ref>Modèle:Lien web</ref>.
Puissances de dix
Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissance. Leur intérêt réside dans le fait que notre écriture est décimale.
| Puissance de dix négatives ou nulle |
Préfixe | Puissance de dix positives ou nulle |
Préfixe | |
|---|---|---|---|---|
| 100 = 1 | - | 100 = 1 | - | |
| 10Modèle:-1 = 0,1 | d (déci-) | 101 = 10 | da (déca-) | |
| 10–2 = 0,01 | c (centi-) | 102 = 100 | h (hecto-) | |
| 10–3 = 0,001 | m (milli-) | 10Modèle:3 = 1 000 | k (kilo-) | |
| 10–4 = 0,0001 | 104 = 10 000 | ma (myria-)<ref>TILF</ref> | ||
| 10–5 = 0,00001 | - | 105 = 100 000 | - | |
| 10–6 = 0,000001 | µ (micro-) | 106 = 1 000 000 | M (méga-) | |
| etc. | etc. | etc. | etc. |
Le nombre 10 élevé à une puissance entière positive n est un chiffre 1 suivi de n zéros.
Le nombre 10 élevé à une puissance entière négative –n est un 1 placé à la n-ième position dans un nombre décimal, Modèle:C.-à-d. précédé de n zéros en comptant celui avant la virgule.
On utilise fréquemment les puissances multiples de 3, qui correspondent aux préfixes du Système international d'unités :
| Puissance de dix négatives |
Préfixe SI | Puissance de dix positives |
Préfixe SI | |
|---|---|---|---|---|
| 10–3 = 0,001 un millième |
m (milli-) | 10Modèle:3 = 1 000 mille |
k (kilo-) | |
| 10–6 = 0,000001 un millionième |
µ (micro-) | 106 = 1 000 000 un million |
M (méga-) | |
| 10–9 = 0,000000001 un milliardième |
n (nano-) | 109 = 1 000 000 000 un milliard |
G (giga-) | |
| 10–12 = 0,000000000001 un millième de milliardième |
p (pico-) | 1012 = 1 000 000 000 000 mille milliards |
T (téra-) | |
| etc. | etc. | etc. | etc. |
Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'un nombre décimal, multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc multiplier par 10n pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite ; diviser par 10n pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi,
- 325,72 × 10 = 3 257,2
- 325,72/10 = 32,572
- 325,72 × 105 = 32 572 000
- 325,72/105 = 0,0032572
Les propriétés énoncées sur les puissances de a restent valables pour les puissances de 10.
L'utilisation des puissances de 10 intervient :
- dans l'écriture explicite en base 10 :
- 325,72 = 3·102 + 2·101 + 5·100 + 7·10Modèle:-1 + 2·10–2 ;
- dans l'écriture scientifique des nombres décimaux :
- 325,72 est noté 3,2572Modèle:X10
- où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre, appelé mantisse, compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10), avec une puissance entière de 10 appelée exposant ;
- et dans la notation ingénieur :
- 325,72 est noté 325,72
- 32 572 est noté 32,572Modèle:X10
- où le nombre est écrit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 999 compris, avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3.
Généralisation aux puissances à exposant réel
Modèle:Article détaillé On peut aussi élever un nombre Modèle:Math strictement positif à une puissance à exposant réel quelconque.
Pour cela, on peut définir successivement :
- d'abord des puissances fractionnaires simples : Modèle:Math = Modèle:Sqrt, où Modèle:Math est un entier, qui coïncident avec les racines Modèle:Math-ièmes pour tout Modèle:Math. Voir racine carrée, racine cubique et racine d'un nombre ;
- puis des puissances fractionnaires composées : Modèle:Math ;
- et enfin, par continuité, des puissances à exposant réel quelconque : Modèle:Math peut ainsi être défini pour tout Modèle:Math réel et tout Modèle:Math.
Pour un nombre Modèle:Math donné, la fonction <math>x\mapsto a^x </math> ainsi obtenue est appelée fonction exponentielle de base a. Elle peut s'exprimer à l'aide des seules fonctions logarithme népérien et exponentielle :
- <math> a^x = \exp(x \ln(a))</math>
Ces puissances fractionnaires et réelles répondent aux mêmes règles que les puissances entières. Notamment, pour tous Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math réels quelconques :
- <math>a^b \times a^c = a^{b+c}~;</math>
- <math>(a^b)^c = a^{b \times c}.</math>
On a en particulier :
- <math>a^{-1/b} = \dfrac1{\sqrt[b]a}</math> pour tout entier Modèle:Math non nul ;
- <math>\sqrt[c]{a^b}=\left(\sqrt[c]{a}\right)^{b} = a^{b/c}</math> si Modèle:Math est entier non nul ;
- <math>(a^b)^{1/b} = (a^{1/b})^b = \sqrt[b]{a^b} = \left ( \sqrt[b]a\right )^b = a^{b/b} = a</math> si Modèle:Math est entier non nul.
De même, <math>(a^{n})^m\neq a^{(n^{m})}</math>, sauf pour des cas très particuliers suivants :
- Si a, n ou m est nul et les deux autres sont tous deux non nuls.
- Si m=1 et a et b ne sont pas tous deux nuls
- Si aucun des cas ci-dessus: <math>\forall a>0,\forall m>0, n=e^{\frac{\ln m}{m-1}}</math>
Exemple
Soit à trouver l'aire Modèle:Math d'un cube de volume Modèle:Math. En notant Modèle:Math la longueur d'un arête, on a : <math>\left(S=6a^2\quad\text{et}\quad V=a^3\right)\Rightarrow S=6V^{2/3}</math>.
