Fonction zêta de Hurwitz
En mathématiques, la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta.
Elle est définie, pour toute valeur Modèle:Mvar du paramètre, nombre complexe de partie réelle strictement positive, par la série suivante, convergeant vers une fonction holomorphe sur le demi-plan des complexes Modèle:Mvar tels que Modèle:Math :
- <math>\zeta(s,q)=\sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s}</math>.
Par prolongement analytique, <math>\zeta(\cdot,q)</math> s'étend en une fonction méromorphe sur le plan complexe, d'unique pôle Modèle:Math.
<math>\zeta(\cdot,1)</math> est la fonction zêta de Riemann.
Représentation intégrale
- <math>\zeta(s,q)=\frac1{\operatorname\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}\operatorname e^{-tq}}{1-\operatorname e^{-t}}\,\mathrm dt</math>,
où Modèle:Math désigne la fonction Gamma<ref>Voir par exemple Modèle:Note autre projet</ref>.
Prolongement analytique
La fonction <math>\zeta(\cdot,q)</math> s'étend en une fonction méromorphe, d'unique pôle Modèle:Math, simple, avec un résidu égal à Modèle:Math<ref>Voir par exemple Modèle:Harvsp, ou Modèle:Note autre projet</ref>.
Développement de Laurent
Son développement de Laurent en ce pôle est
- <math>\zeta(s,q)=\frac1{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}\gamma_n(q)(s-1)^n</math>
où les coefficients
- <math>\gamma_n(q)=\lim_{N\to\infty}\left\{\left(\sum_{k=0}^N\frac{\ln^n(k+q)}{k+q}\right)-\frac{\ln^{n+1}(N+q)}{n+1}\right\},\qquad n\in\N</math><ref name=Berndt>Modèle:Article.</ref>
sont les « constantes de Stieltjes généralisées » (les constantes de Stieltjes usuelles <math>\gamma_n(1)</math> correspondent à la fonction zêta de Riemann).
La généralisation correspondante de la formule de Jensen-Franel est la formule de Hermite<ref name=Blagouchine/> :
- <math>
\gamma_n(q)=\left(\frac1{2q}-\frac{\ln q}{n+1}\right)\ln^nq -\mathrm i\int_0^\infty \frac{\mathrm dx}{\operatorname e^{2\pi x}-1} \left\{ \frac{\ln^n(q-\mathrm ix)}{q-\mathrm ix}-\frac{\ln^n(q+\mathrm ix)}{q+\mathrm ix} \right\} </math>.
La constante d'indice 0 est l'opposée de la fonction digamma<ref name=Blagouchine>Modèle:Article .</ref> :
- <math>\gamma_0(q)=-\psi(q)=-\frac{\Gamma'(q)}{\Gamma(q)}</math>.
Formule de Hurwitz
La formule de Hurwitz<ref name=Berndt/>,<ref>Modèle:Harvsp.</ref> est le théorème suivant, valide pour Modèle:Math et Modèle:Math, ainsi que pour Modèle:Math et Modèle:Math :
- <math>\zeta(1-s,q)=\frac{\Gamma(s)}{(2\pi)^s}\left[{\rm e}^{-{\rm i}\pi s/2}F(q,s)+{\rm e}^{{\rm i}\pi s/2}F(-q,s)\right]</math>
où
- <math>F(q,s):=\sum_{k=1}^\infty\frac{\exp(2\pi{\rm i}kq)}{k^s}=\mbox{Li}_s({\rm e}^{2\pi{\rm i}q})
</math>, Modèle:Math étant la fonction polylogarithme.
Équation fonctionnelle
L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zêta sur le côté gauche — et droit — du plan complexe. Pour les nombres entiers <math>1\leq m \leq n,</math>
- <math>\zeta \left(1-s,\frac mn\right) =
\frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s } \sum_{k=1}^n \cos \left( \frac {\pi s}2-\frac {2\pi k m}n\right)\; \zeta \left( s,\frac kn\right) </math> reste valable pour toutes les valeurs de Modèle:Mvar.
Développement en série de Taylor
La dérivée partielle de la fonction zêta est une suite de Sheffer :
- <math>\frac {\partial} {\partial q} \zeta (s,q) = -s\zeta(s+1,q)</math>.
Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :
- <math>\zeta(s,x+y) = \sum_{k=0}^\infty \frac {y^k} {k!}
\frac {\partial^k} {\partial x^k} \zeta (s,x) = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} (-y)^k \zeta (s+k,x)</math>.
Transformation de Fourier
La transformée de Fourier discrète de la fonction zêta de Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre.
Lien avec d'autres fonctions spéciales
Relation avec les polynômes de Bernoulli
Puisque, avec la notion Modèle:Mvar introduite ci-dessus, la série de Fourier des polynômes de Bernoulli est (pour <math>0<x<1</math> et <math>n\in\N^*</math>) :
- <math>B_n(x)=-n\frac{\Gamma(n)}{(2\pi)^n}\left((-\mathrm i)^nF(x,n)+\mathrm i^nF(-x,n)\right)</math>,
la formule de Hurwitz donne (pour Modèle:Math et <math>n\in\N</math>) :
- <math>\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x)\over n+1}</math><ref>Voir par exemple Modèle:Harvsp, ou Modèle:Note autre projet</ref>.
Relation avec les fonctions L de Dirichlet
En fixant un entier Modèle:Math, les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo Modèle:Mvar sont des combinaisons linéaires de Modèle:Math où Modèle:Math et Modèle:Math.
Plus précisément, soit Modèle:Mvar un caractère de Dirichlet Modèle:Math. La fonction L de Dirichlet associée s'écrit :
- <math>L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac {\chi(n)}{n^s} =
\frac1{Q^s} \sum_{k=1}^Q \chi(k)\; \zeta\left(s,\frac kQ\right) </math>. Par inversion de Plancherel, on en déduit, pour toute fraction irréductible <math>k/Q\in\left]0,1\right]</math> :
- <math>\zeta\left(s,\frac kQ\right)=\frac{Q^s}{\varphi(Q)}\sum_\chi\overline{\chi}(k)L(s,\chi)</math>,
la somme portant sur tous les caractères de Dirichlet Modèle:Math.
Relation avec la fonction polygamma
La fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma :
- <math>\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1} m! \zeta (m+1,z)</math>.
Relation avec la fonction transcendante de Lerch
La fonction transcendante de Lerch généralise la fonction zêta de Hurwitz :
- <math>\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty
\frac { z^k} {(k+q)^s}</math> et ainsi
- <math>\zeta (s,q)=\Phi(1, s, q)</math>.
Relation avec la fonction thêta de Jacobi
Si <math>\vartheta (z,\tau)</math> est la fonction thêta de Jacobi, alors
- <math>\int_0^\infty \left[\vartheta (z,{\rm i}t) -1 \right] t^{s/2} \frac{\mathrm dt}t=
\pi^{-(1-s)/2} \Gamma \left( \frac {1-s}2\right) \left[ \zeta(1-s,z) + \zeta(1-s,1-z) \right]</math> reste valable pour Modèle:Math et z complexe non entier.
Pour z = n un entier, ceci se simplifie en
- <math>\int_0^\infty \left[\vartheta (n,{\rm i}t) -1 \right] t^{s/2} \frac{{\rm d}t}t=
2\ \pi^{-(1-s)/2} \ \Gamma \left( \frac {1-s}2\right) \zeta(1-s) =2\ \pi^{-s/2} \ \Gamma \left( \frac s2\right) \zeta(s)</math> où Modèle:Math est la fonction zêta de Riemann. Cette distinction selon l'intégralité de z rend compte du fait que la fonction thêta de Jacobi converge vers la fonction δ de Dirac pour z lorsque Modèle:Math.
Applications
La fonction zêta de Hurwitz apparaît principalement en théorie des nombres, mais aussi dans les statistiques appliquées ; voir la loi de Zipf et la Modèle:Lien.
Références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Voir aussi
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