Analyse fractionnaire
L'analyse fractionnaire est une branche de l'analyse mathématique qui étudie la possibilité de définir des puissances non entières des opérateurs de dérivation et d'intégration.
Ces dérivées ou intégrations fractionnaires entrent dans le cadre plus général des opérateurs pseudo-différentiels.
Par exemple, on peut se demander comment interpréter convenablement la racine carrée
de l'opérateur de dérivation, c'est-à-dire une expression d'un certain opérateur qui, lorsqu'elle est appliquée deux fois à une fonction, aura le même effet que la dérivation. Plus généralement, on peut examiner le problème de définir
pour des valeurs réelles de Modèle:Mvar, de telle sorte que lorsque Modèle:Mvar prend une valeur entière Modèle:Mvar, on récupère la dérivation Modèle:Mvar-ième usuelle pour Modèle:Math ou l'intégration itérée Modèle:Math fois pour Modèle:Math. Le terme « fractionnaire » est utilisé de façon impropre : Modèle:Mvar n'est pas nécessairement un nombre rationnel, et l'on devrait donc plutôt parler de dérivation non entière. Cependant, le terme « analyse fractionnaire » est devenu traditionnel.
Les dérivées fractionnaires sont utilisées par exemple dans certains domaines de la physique faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l'électromagnétisme, l'acoustique ou la thermique, en définissant des opérateurs pseudo-différentiels diffusifs, avec conditions de bord à « géométrie fractale ».
Dérivée fractionnaire
Modèle:Section à sourcer Les fondations de ce sujet ont été jetées par Liouville dans un article de 1832<ref>Joseph Liouville, « Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions », Journal de l'École polytechnique, vol. 13, section 21, 1832, Modèle:P..</ref>,<ref>Joseph Liouville, « Mémoire sur le calcul des différentielles à indices quelconques », Journal de l'École polytechnique, vol. 13, section 21, 1832, Modèle:P..</ref>,<ref>Pour une histoire du sujet, voir Stéphane Dugowson, Les différentielles métaphysiques (histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation), thèse, Université Paris XIII, 1994.</ref>. La dérivée fractionnaire d'ordre Modèle:Mvar d'une fonction en un point Modèle:Mvar est désormais souvent définie à partir de la transformée de Fourier ou de la transformée de Laplace.
Un point important est que la dérivée fractionnaire d'une fonction en un point Modèle:Mvar est une propriété locale seulement lorsque l'ordre Modèle:Mvar est entier ; dans les autres cas, on ne peut plus dire que la dérivée fractionnaire d'une fonction Modèle:Mvar en Modèle:Mvar ne dépend que du graphe de Modèle:Mvar au voisinage de Modèle:Mvar, comme c'est le cas en ce qui concerne les ordres de dérivation entiers.
Pour illustrer ceci, introduisons l'opérateur « de translation » <math>T : f(x) \mapsto f(x + h)</math> et l'opérateur identité <math>\mathrm{Id}</math>. La limite, lorsque Modèle:Mvar tend vers Modèle:Math, de l'opérateur
correspond bien à l'opérateur de dérivation au premier ordre.
Grâce à la formule du binôme généralisée, on peut alors élever cet opérateur à une puissance non entière. On obtient ainsi une série infinie :
où <math>{\alpha\choose k}</math> désigne le coefficient binomial généralisé <math>{\alpha\choose k}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\dots(\alpha-k+1)}{k!}</math>.
Une telle définition induit un caractère non local de l'opération de dérivation à un ordre non entier.
Approche naturelle
Une question naturelle qui se pose est : existe-t-il un opérateur linéaire Modèle:Math tel que
Il apparaît qu'il existe un tel opérateur et même, pour tout Modèle:Math rationnel, il existe un opérateur Modèle:Math tel que <math>\mathrm P^\alpha=\mathrm D</math> (plus précisément, si Modèle:Math, <math>\mathrm P^p=\mathrm D^q</math>) ou, pour le formuler autrement, que <math>\tfrac{\mathrm d^nf}{\mathrm dx^n}</math> est défini pour toutes valeurs réelles Modèle:Math.
Un résultat similaire s'applique pour l'intégration. Considérant une fonction Modèle:Mvar définie pour Modèle:Math, nous pouvons former son intégrale définie de 0 à Modèle:Mvar :
En répétant ce processus, on obtient
et ceci peut être répété arbitrairement.
La formule suivante, appelée formule de Cauchy pour l'intégration successive,
exprime par une seule intégrale une primitive Modèle:Mvar-ième d'une fonction Modèle:Mvar. Ceci mène tout droit à une généralisation pour tout réel Modèle:Math et même, pour tout nombre complexe de partie réelle strictement positive.
La fonction gamma Modèle:Math, qui étend la factorielle aux valeurs complexes, est définie de telle sorte que :
En utilisant la fonction gamma pour se libérer de la nature discrète de la factorielle, nous obtenons un candidat naturel pour les puissances non entières de l'opérateur d'intégration :
La famille d'opérateurs intégraux <math>(\mathrm I^\alpha)</math> vérifie :
Malheureusement, le processus analogue pour l'opérateur de dérivation Modèle:Math est considérablement plus compliqué. La famille <math>(\mathrm D^\alpha)</math> n'est ni additive (on n'a pas en général <math>\mathrm D^\alpha\circ\mathrm D^\beta=\mathrm D^{\alpha+\beta}</math>), ni même commutative (<math>\mathrm D^\alpha\circ\mathrm D^\beta\ne\mathrm D^\beta\circ\mathrm D^\alpha</math>)<ref>Modèle:Ouvrage, Propriété 2.4.</ref>.
Une définition élémentaire
L'idée la plus simple est de partir de formules « régulières » pour la dérivée Modèle:Mvar-ième et de remplacer Modèle:Mvar par le réel Modèle:Mvar ; on obtient ainsi pour l'exponentielle <math>\mathrm{\mathrm D}^\alpha(\mathrm e^{\lambda x})=\lambda^\alpha\mathrm e^{\lambda x}</math> et pour la fonction sinus : <math>(\mathrm{\mathrm D}^{\alpha}\sin)(x)=\sin\left(x+\frac{\alpha\pi}2\right). </math> La même idée pour les fonctions puissances oblige comme précédemment à introduire la fonction gamma : puisque <math> \frac{\mathrm d^n }{ \mathrm dx^n } x^k = \frac{ k! }{ (k - n) ! } x^{k-n}</math>, on aura <math>\mathrm{\mathrm D}^\alpha(x^k)=\frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k+1-\alpha)}x^{k-\alpha}</math>. Pour ces formules, on a bien l'additivité (<math>\mathrm D^\alpha\circ\mathrm D^\beta=\mathrm D^{\alpha+\beta}</math>), qui permet d'obtenir, par exemple, une « racine carrée » de la dérivation en prenant Modèle:Math.
Mais cette approche élémentaire, non seulement n'est pas généralisable, mais contredit les définitions plus générales construites à partir d'opérateurs intégraux<ref>Modèle:Article.</ref>.
Définitions générales des dérivées fractionnaires
Modèle:Section vide ou incomplète
Dérivée de Riemann-Liouville
Modèle:Voir L'idée, pour définir une dérivée d'ordre <math>\alpha\in\Complex</math> avec Modèle:Math, est ici de calculer la dérivée Modèle:Mvar-ième usuelle de l'intégrale fractionnaire d'ordre Modèle:Mvar, pour Modèle:Math. Deux variantes de la définition existent :
- <math>\mathrm D_{a+}^\alpha f(x)=\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\mathrm D_{a+}^{-(n-\alpha)}f(x)=\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\mathrm I_{a+}^{n-\alpha}f(x)</math> (pour <math>x>a</math>) ;
- <math>\mathrm D_{b-}^\alpha f(x)=\left(-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^n\mathrm D_{b-}^{-(n-\alpha)}f(x)=\left(-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^n\mathrm I_{b-}^{n-\alpha}f(x)</math> (pour <math>x<b</math>)Modèle:Sfn.
Les familles d'opérateurs d'intégration <math>(\mathrm I_{a+}^\alpha)</math> et <math>(\mathrm I_{b-}^\alpha)</math> (avec Modèle:Math) utilisées ici généralisent la famille <math>(\mathrm I^\alpha)=(\mathrm I_{0+}^\alpha)</math> définie [[#Approche naturelle|ci-dessus pour Modèle:Math]] :
- <math>(\mathrm I_{a+}^\alpha)f(x)=\frac1{\Gamma(\alpha)}\int_a^x(x-t)^{\alpha-1}f(t)\;\mathrm dt\quad(x>a)</math> ;
- <math>(\mathrm I_{b-}^\alpha)f(x)=\frac1{\Gamma(\alpha)}\int_x^b(t-x)^{\alpha-1}f(t)\;\mathrm dt\quad(x<b)</math>Modèle:Sfn.
Modèle:Exemple\frac{\cancel{\Gamma(n-\alpha+k+1)}}{\Gamma(-\alpha+k+1)}x^{-\alpha+k}</math>, donc la définition ad hoc ci-dessus de <math>\mathrm{\mathrm D}^\alpha(x^k)</math> est en fait un cas particulier de dérivée de Riemann-LiouvilleModèle:Sfn. }}
Dérivée de Liouville-Weyl
Une variante naturelle de la dérivée de Riemann-Liouville, pour une fonction définie sur <math>\R</math> tout entier, consiste à prendre <math>a=-\infty</math> et <math>b=+\infty</math>, donc à poser, pour tout <math>x\in\R</math> :
- <math>(\mathrm I_+^\alpha)f(x)=\frac1{\Gamma(\alpha)}\int_{-\infty}^x(x-t)^{\alpha-1}f(t)\;\mathrm dt</math>,
- <math>(\mathrm I_-^\alpha) f(x)=\frac1{\Gamma(\alpha)}\int_x^{+\infty}(t-x)^{\alpha-1}f(t)\;\mathrm dt</math>
puis, comme précédemment,
- <math>\mathrm D_+^\alpha=\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\circ\mathrm I_+^{n-\alpha}</math> et <math>\mathrm D_-^\alpha=\left(-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^n\circ\mathrm I_-^{n-\alpha}</math>Modèle:Sfn,<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
Dérivée de Caputo
En 1967, Michele Caputo introduisit une nouvelle définition ne nécessitant pas de conditions aux bornes<ref>Modèle:Article.</ref>. La définition de Caputo diffère de celle de Riemann-Liouville en ce qu'elle effectue la dérivation Modèle:Mvar fois avant l'intégrale fractionnaire d'ordre Modèle:Mvar :
- <math>{}^C\mathrm D^\alpha f=\mathrm I^{n-\alpha}\left(f^{(n)}\right)\qquad (n-1<\alpha<n)</math>.
Elle a l'avantage d'être nulle pour Modèle:Mvar constante et d'avoir une transformée de Laplace exprimée à l'aide de celle de Modèle:Mvar et des valeurs initiales de Modèle:Math pour Modèle:Math.
Plus généralementModèle:Sfn, pour Modèle:Mvar complexe non entier tel que Modèle:Math et pour Modèle:Mvar de [[Classe de régularité|classe Modèle:Math]] sur Modèle:Math avec Modèle:Math, on définit
- <math>{}^C\mathrm D_{a+}^\alpha f=\mathrm D_{a+}^\alpha\left[f(t)-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{y^{(k)}(a)}{k!}(t-a)^k\right]\quad\text{et}\quad^C\mathrm D_{b-}^\alpha f=\mathrm D_{b-}^\alpha\left[f(t)-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{y^{(k)}(b)}{k!}(b-t)^k\right]</math>,
et l'on démontre que
- <math>{}^C\mathrm D_{a+}^\alpha f=\mathrm I_{a+}^{n-\alpha}\left(f^{(n)}\right)\quad\text{et}\quad^C\mathrm D_{b-}^\alpha f=(-1)^n\mathrm I_{b-}^{n-\alpha}\left(f^{(n)}\right)</math>.
Dérivée de Grünwald-Letnikov
Modèle:Voir On généralise d'abord la différence finie arrière d'ordre entier en posant, pour Modèle:Math :
- <math>\Delta^\alpha_hf(x)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k{\alpha\choose k}f(x+(\alpha-k)h)</math>,
puis
- <math>{}^{GL}\mathrm D_+^\alpha f(x)=\lim_{h\to0^+}\frac{\Delta^\alpha_hf(x)}{h^\alpha}\quad\text{et}\quad^{GL}\mathrm D_-^\alpha f(x)=\lim_{h\to0^+}\frac{\Delta^\alpha_{-h}f(x)}{h^\alpha}</math>Modèle:Sfn.
Applications
Ce champ des mathématiques trouve une application pratique en automatique via la commande CRONE (Commande Robuste d'Ordre Non Entier).
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Voir aussi
Articles connexes
- Modèle:Lien
- Opérateur différentiel
- Système d'ordre fractionnaire
- Théorème de Hille-Yosida
- Fonction de Mittag-Leffler
Liens externes
Ouvrages
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