Comatrice
En algèbre linéaire, la comatrice d'une matrice carrée Modèle:Mvar est une matrice carrée de même taille, dont les coefficients, appelés les cofacteurs de Modèle:Mvar, interviennent dans le développement du déterminant de Modèle:Mvar suivant une ligne ou une colonne. Si Modèle:Mvar est une matrice inversible, sa comatrice intervient également dans une expression de son inverse.
Dans cette page, Modèle:Mvar désigne une matrice carrée d'ordre Modèle:Mvar à coefficients dans un anneau commutatif Modèle:Mvar.
Définitions
Le cofacteur d'indice Modèle:Math de Modèle:Mvar est :
- <math>\left(\operatorname{com}A\right)_{i,j}:=\det\left(A'_{i,j}\right)=(-1)^{i+j}\det\left(A_{i,j}\right)</math>, où
- Modèle:Math est la matrice carrée de taille Modèle:Mvar déduite de Modèle:Mvar en remplaçant la Modèle:Mvar-ème colonne par une colonne constituée uniquement de zéros, sauf un Modèle:Math sur la Modèle:Mvar-ème ligne ;
- Modèle:Math est la sous-matrice carrée de taille Modèle:Math déduite de Modèle:Mvar en supprimant la Modèle:Mvar-ème ligne et la Modèle:Mvar-ème colonne (son déterminant fait donc partie des mineurs de Modèle:Mvar).
La comatrice de Modèle:Mvar est la matrice de ses cofacteurs.
Formules de Laplace
On peut calculer le déterminant de Modèle:Mvar en fonction des coefficients d'une seule colonne et des cofacteurs correspondants. Cette formule, dite formule de Laplace, permet ainsi de ramener le calcul d'un déterminant d'ordre Modèle:Mvar à celui de Modèle:Mvar déterminants d'ordre Modèle:Math.
Formules de développement d'un déterminant d'ordre Modèle:Mvar<ref name=Wikiversité/> :
- par rapport à la colonne Modèle:Mvar :
- <math>\det A=\sum_{i=1}^na_{i;j}(\operatorname{com}A)_{i,j}</math> ;
- par rapport à la ligne Modèle:Mvar :
- <math>\det A=\sum_{j=1}^na_{i;j}(\operatorname{com}A)_{i,j}</math>.
Généralisation
La formule suivante<ref name=Wikiversité>Ces formules incontournables sont démontrées dans tous les cours d'algèbre linéaire, comme :
- Modèle:Ouvrage ;
- Modèle:Ouvrage ;
- Modèle:Note autre projet</ref> se déduit des formules de Laplace et les inclut :
- <math>A\;{}^{\operatorname t}\!{\operatorname{com}A}=\left({}^{\operatorname t}\!{\operatorname{com}A}\right)\;A =\left(\det A\right)\;\mathrm I_n</math>,
où Modèle:Math désigne la matrice identité de même taille Modèle:Mvar que Modèle:Mvar.
La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire<ref>Dans la littérature en langue anglaise, la matrice complémentaire (transposée de la comatrice) est parfois appelée « matrice adjointe », ce qui crée un risque de confusion avec un autre sens de matrice adjointe, désignant la transposée de la matrice conjuguée.</ref> de Modèle:Mvar. Notamment si Modèle:Math est inversible dans Modèle:Mvar, alors Modèle:Mvar est inversible dans Modèle:Math et son inverse est un multiple de la matrice complémentaire, ce qui veut dire qu'on a obtenu une formule pour l'inverse, ne nécessitant « que » des calculs de déterminants :
- <math>A^{-1}=\frac1{\det A} \,{}^{\operatorname t}\!{\operatorname{com}A}</math>.
Cette formule n'a guère qu'un intérêt théorique car en pratique, elle est trop lourde pour calculer explicitement Modèle:Math dès que Modèle:Math et la méthode plus élémentaire à base d'opérations élémentaires sur les lignes (inversion par pivot de Gauss) est plus efficace, aussi bien pour l'humain que pour la machine.
Propriétés de la comatrice
- Compatibilité avec la transposition : Modèle:Math.
- Compatibilité avec le produit<ref name="LQ">Modèle:Ouvrage.</ref> : Modèle:Math et pour toutes matrices carrées Modèle:Mvar et Modèle:Mvar d'ordre Modèle:Mvar, Modèle:Math.
- Rang (si Modèle:Mvar est un corps commutatif) :
- si Modèle:Mvar est de rang Modèle:Mvar (Modèle:C.-à-d. Modèle:Mvar inversible), Modèle:Math aussi (jointe à la précédente, cette propriété assure que l'application « comatrice » se restreint en un automorphisme du groupe linéaire Modèle:Math) ;
- si Modèle:Mvar est de rang Modèle:Math, avec Modèle:Math, Modèle:Math est de rang 1 ;
- si Modèle:Mvar est de rang inférieur ou égal à Modèle:Math, Modèle:Math.
- Déterminant : si Modèle:Math, Modèle:Math.
- Comatrice de la comatrice<ref name=LQ/> : si Modèle:Math, Modèle:Math.
- Si Modèle:Math est le polynôme caractéristique de Modèle:Mvar et si Modèle:Mvar est le polynôme défini par Modèle:Math, alors<ref name=LQ/> : Modèle:Math.
Exemples
Matrices de taille (1,1)
La comatrice de toute matrice de taille (1,1) est la matrice identité Modèle:Math.
Matrices de taille (2,2)
- <math>\operatorname{com}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} d & -c\\ -b & a \end{pmatrix}</math>.
Matrices de taille (3,3)
- <math>\operatorname{com}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & & a_{33}\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\\ +\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23}\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} \end{pmatrix}</math>.
On rappelle que <math>\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =ad-bc</math> (voir déterminant).
Variations de la fonction déterminant
On suppose ici que Modèle:Mvar est le corps des réels, et l'on s'intéresse à l'application déterminant, vue comme fonction des coefficients de la matrice :
- <math>\R^{n^2}\simeq\mathrm M_n(\R)\to\R,\;A\mapsto\det A</math>.
La formule de Leibniz montre que c'est une fonction polynomiale (homogène) donc indéfiniment différentiable.
On peut retrouver et préciser cette régularité grâce aux formules de Laplace Modèle:Supra : en un point Modèle:Mvar quelconque de Mn(ℝ), la fonction Modèle:Math est affine par rapport à la variable d'indice Modèle:Math, et sa dérivée partielle est le cofacteur de Modèle:Mvar de même indice :
Modèle:Retrait(A)=(\operatorname{com}A)_{i, j}.</math>}}
On en déduit, toujours au point Modèle:Mvar, le gradient de Modèle:Math (si l'on munit Mn(ℝ) de son produit scalaire canonique) : Modèle:Retrait
ou encore, sa différentielle donc son développement limité à l'ordre 1 : Modèle:Retrait
Notamment pour le cas où Modèle:Mvar est la matrice identité : Modèle:Retrait
Comatrice et produit vectoriel
Si Modèle:Mvar est une matrice réelle d'ordre 3, elle agit sur les vecteurs de l'espace euclidien orienté ℝModèle:3. La comatrice de Modèle:Mvar décrit alors l'interaction de Modèle:Mvar avec le produit vectoriel :
- <math>Au\wedge Av=\operatorname{com}A\, (u \wedge v)</math>.
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