Nombre de Heegner

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En théorie des nombres, un nombre de Heegner est un entier positif Modèle:Mvar sans facteur carré tel que l'anneau des entiers du corps quadratique imaginaire ℚ[[[:Modèle:Math]]Modèle:Racine] est principal (ou encore : factoriel, ce qui ici est équivalent car l'anneau est de Dedekind).

Le théorème de Stark-Heegner indique qu'il y a exactement neuf nombres de Heegner<ref>Modèle:HardyWrightFr, chapitre 14 (« Corps quadratiques (1) »), section 14.7.</ref> :

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163 (Modèle:OEIS).

Ce résultat était conjecturé par Gauss et démontré, à quelques erreurs près, par Kurt Heegner en 1952. Alan Baker et Harold Stark ont indépendamment démontré la conjecture en 1966, et Stark a comblé la preuve de Heegner<ref>Modèle:Article.</ref>.

La détermination de ces nombres est un cas particulier du problème du nombre de classes, et ils sous-tendent plusieurs résultats arithmétiques frappants. Par exemple, pour certains nombres de Heegner Modèle:Mvar, le nombre <math>\mathrm e^{\pi\sqrt d}</math> est presque entier.

Polynôme d'Euler générateur de nombres premiers

Le polynôme d'Euler<math display="block">n^2 + n + 41,</math>

qui donne des nombres premiers pour n = 0, ..., 39, est lié au nombre de Heegner 163 = 4×41 − 1.

Modèle:Lien<ref>Modèle:Article.</ref> a montré que<math display="block">n^2 + n + p</math>donne des nombres premiers pour <math>n=0,\dots,p-2</math> si et seulement si son discriminant <math>1-4p</math> est l'opposé d'un nombre de Heegner.

(Remarquons que <math>(p-1)^2 +(p-1)+ p=p^2</math>, de sorte que <math>p-2</math> est maximal.)

Les nombres de Heegner 1, 2, et 3 n'étant pas de la forme 4p − 1 avec p ≥ 2, les nombres de Heegner qui fonctionnent sont donc 7, 11, 19, 43, 67, 163, ce qui correspond aux coefficients p = 2, 3, 5, 11, 17, 41 ; ces derniers ont été nommés nombres chanceux d'Euler par François Le Lionnais<ref>F. Le Lionnais, Les nombres remarquables, Hermann, Paris, 1983, p. 88 et 144.</ref>.

Presque entiers et constante de Ramanujan

La constante de Ramanujan est le nombre Modèle:Math, qui est à la fois transcendant (comme Modèle:Math pour tout nombre algébrique non nul Modèle:Math, d'après le théorème de Gelfond-Schneider) et presque entier<ref>Modèle:MathWorld.</ref> :<math display="block">\mathrm e^{\pi \sqrt{163}} = 262\,537\,412\,640\,768\,743999\,999\,999\,999\,25\ldots\approx 640\,320^3+744.</math>Ce nombre a été découvert en 1859 par le mathématicien Charles Hermite<ref>Modèle:Ouvrage</ref>. Cette coïncidence est due à la multiplication complexe et au q-développement du j-invariant.

Détail

Cela s'explique, en bref, par le fait que <math>j\left(\frac{1+\sqrt{-d}}2\right)</math> est entier lorsque Modèle:Mvar est de Heegner, et<math display="block">\mathrm e^{\pi \sqrt d} \approx -j\left(\frac{1+\sqrt{-d}}2\right) + 744</math>par q-développement.

Si <math>\tau</math> est un irrationnel quadratique, alors le j-invariant est un entier algébrique de degré égal au nombre de classes de <math>\Q(\tau)</math>. Ainsi, si l'extension quadratique imaginaire <math>\mathbb{Q}(\tau)=\Q\left(\frac{1+\sqrt{-d}}2\right)</math> a un nombre de classes égal à 1 (donc si Modèle:Mvar est un nombre de Heegner), alors le j-invariant est entier.

Le q-développement de j, son développement en série de Fourier en <math>q=\mathrm e^{2 \pi\mathrm i \tau}</math> s'écrit :<math display="block">j(\tau) = \frac1q+ 744 + 196\,884 q + \cdots.</math>Les coefficients <math>c_n</math> croissent asymptotiquement comme<math display="block">\ln c_n=4\pi \sqrt{n} + O\left(\ln n\right),</math>et les termes suivants Modèle:Pas clair. Donc pour <math>\textstyle q \ll \frac{1}{200\,000}</math>, j est bien approximé par ses deux premiers termes. Posons <math>\tau = \frac{1+\sqrt{-163}}2</math> d'où<math display="block"> q=-\mathrm e^{-\pi \sqrt{163}} \quad\text{donc}\quad \frac1q=-\mathrm e^{\pi \sqrt{163}}. </math>Or<math display="block">j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}2\right)=-640\,320^3</math>donc<math display="block">-640\,320^3\approx-\mathrm e^{\pi \sqrt{163}}+744,</math>c'est-à-dire<math display="block">\mathrm e^{\pi \sqrt{163}}\approx 640\,320^3+744.</math>Modèle:Refnec} \approx \frac{-196\,884}{640\,320^3+744} \approx -0000\,000\,000\,000\,75,</math>}}ce qui explique pourquoi <math>\mathrm e^{\pi \sqrt{163}}</math> est très proche d'un entier.

Formules autour de pi

Les frères Chudnosky trouvent en 1987 que<math display="block">\frac{1}{\pi} = \frac{12}{640\,320^\frac32} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (163 \cdot 3\,344\,418k + 13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^3 (-640\,320)^{3k}},</math>en utilisant le fait que<math display="block">j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right) = -640\,320^3.</math>D'autres séries similaires existent, cf. Modèle:Lien.

Autres nombres de Heegner

Pour les quatre nombres de Heegner les plus grands, on obtient les approximations suivantes<ref>Modèle:Lien web</ref>,<math display="block">\begin{align} \mathrm e^{\pi \sqrt{19}} &\approx 12^3\left(3^2-1\right)^3{\color{white}00}+744-022= {\color{white}000\,0}96^3+744-022\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{43}} &\approx 12^3\left(9^2-1\right)^3{\color{white}00}+744-0000\,22={\color{white}000\,}960^3+744-0000\,22\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{67}} &\approx 12^3\left(21^2-1\right)^3{\color{white}0}+744-0000\,0013={\color{white}00}5\,280^3+744-0000\,0013\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 12^3\left(231^2-1\right)^3+744-0000\,000\,000\,000\,75=640\,320^3+744-0000\,000\,000\,000\,75 \end{align} </math>où le carré provient de certaines séries d'Eisenstein. Pour les nombres de Heegner <math>d < 19</math>, les nombres obtenus ne sont pas proches d'entiers. Les j-invariants sont fortement factorisables :<math display="block">\begin{align} j\left(\frac{1+\sqrt{-19}}2\right) &= {\color{white}000\,0}96^3 =\left(2^5 \cdot 3\right)^3\\ j\left(\frac{1+\sqrt{-43}}2\right) &= {\color{white}000\,}960^3 =\left(2^6 \cdot 3 \cdot 5\right)^3\\ j\left(\frac{1+\sqrt{-67}}2\right) &= {\color{white}00}5\,280^3 =\left(2^5 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11\right)^3\\ j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}2\right)&= 640\,320^3 =\left(2^6 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 29\right)^3. \end{align} </math>Ces nombres transcendants, en plus d'être proche d'entiers (c'est-à-dire proches d'entiers algébriques de degré 1), sont aussi approximés par des nombres algébriques de degré 3<ref>Modèle:Lien web</ref>,<math display="block">\begin{align} \mathrm e^{\pi \sqrt{19}} &\approx x^{24}-24000\,31 ; & x^3-2x-2&=0\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{43}} &\approx x^{24}-24000\,000\,31 ; & x^3-2x^2-2&=0\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{67}} &\approx x^{24}-24000\,000\,0019 ; & x^3-2x^2-2x-2&=0\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{163}} &\approx x^{24}-24000\,000\,000\,000\,0011  ; &\quad x^3-6x^2+4x-2&=0 \end{align} </math>Les racines des polynômes de droite peuvent être explicités en fonction de la fonction êta de Dedekind η(τ), une forme modulaire impliquant une racine 24-ième, cause de l'exposant 24 ci-dessus. De même par des nombres algébriques de degré 4<ref>Modèle:Lien web</ref>,<math display="block">\begin{align} \mathrm e^{\pi \sqrt{19}} &\approx 3^5 \left(3-\sqrt{2\left(1- \tfrac{96}{24}+1\sqrt{3\cdot19}\right)} \right)^{-2}-12000\,06\dots\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{43}} &\approx 3^5 \left(9-\sqrt{2\left(1- \tfrac{960}{24}+7\sqrt{3\cdot43}\right)} \right)^{-2}-12000\,000\,061\dots\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{67}} &\approx 3^5 \left(21-\sqrt{2\left(1- \tfrac{5\,280}{24} +31\sqrt{3\cdot67}\right)} \right)^{-2}-12000\,000\,000\,36\dots\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 3^5 \left(231-\sqrt{2\left(1- \tfrac{640\,320}{24}+2\,413\sqrt{3\cdot163}\right)} \right)^{-2}-12000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{align} </math>Si <math>x</math> désigne les expressions entre parenthèses (e.g. <math>x=3-\sqrt{2\left(1- \tfrac{96}{24}+1\sqrt{3\cdot19}\right)}</math>), les équations quartiques sont respectivement satisfaites:<math display="block">\begin{align} x^4 -{\color{white}00} 4\cdot 3 x^3 + {\color{white}000\,0}\tfrac23( 96 +3) x^2 - {\color{white}000\,000}\tfrac23\cdot3(96-6)x - 3&=0\\ x^4 -{\color{white}00} 4\cdot 9x^3 + {\color{white}000\,}\tfrac23( 960 +3) x^2 - {\color{white}000\,00}\tfrac23\cdot9(960-6)x - 3&=0\\ x^4 -{\color{white}0} 4\cdot 21x^3 + {\color{white}00}\tfrac23( 5\,280 +3) x^2 - {\color{white}000}\tfrac23\cdot21(5\,280-6)x - 3&=0\\ x^4 - 4\cdot 231x^3 + \tfrac23( 640\,320 +3) x^2 - \tfrac23\cdot231(640\,320-6)x - 3&=0\\ \end{align} </math>Notons à nouveau l'apparition des entiers <math>n = 3, 9, 21, 231</math>.

De même, par des nombres algébriques de degré 6,<math display="block">\begin{align} \mathrm e^{\pi \sqrt{19}} &\approx \left(5x\right)^3-6000\,010\dots\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{43}} &\approx \left(5x\right)^3-6000\,000\,010\dots\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{67}} &\approx \left(5x\right)^3-6000\,000\,000\,061\dots\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{163}} &\approx \left(5x\right)^3-6000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{align} </math>où les x sont respectivement donnés par<math display="block">\begin{align} 5x^6-{\color{white}000\,0}96x^5-10x^3+1&=0\\ 5x^6-{\color{white}000\,}960x^5-10x^3+1&=0\\ 5x^6-{\color{white}00}5\,280x^5-10x^3+1&=0\\ 5x^6-640\,320x^5-10x^3+1&=0 \end{align} </math>avec une nouvelle apparition des j-invariants.

Ces approximations algébriques peuvent être exprimées explicitement en fonction de la fonction êta de Dedekind. Par exemple, si <math>\tau = \frac{1+\sqrt{-163}}2</math>, alors,<math display="block">\begin{align} \mathrm e^{\pi \sqrt{163}} &= \left( \frac{\mathrm e^\frac{\pi i}{24} \eta(\tau)}{\eta(2\tau)} \right)^{24}-24000\,000\,000\,000\,001\,05\dots\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{163}} &= \left( \frac{\mathrm e^\frac{\pi i}{12} \eta(\tau)}{\eta(3\tau)} \right)^{12}-12000\,000\,000\,000\,000\,21\dots\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{163}} &= \left( \frac{\mathrm e^\frac{\pi i}6\eta(\tau)}{\eta(5\tau)} \right)^6-6000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{align} </math>où les expressions mises à la puissance sont exactement celles écrites plus haut.

Nombre de classes égal à 2

Les trois nombres 88, 148, 232, pour lesquels le corps quadratique <math>\Q\left[\sqrt{-d}\right]</math> a un nombre de classes égal à 2, ne sont pas des nombres de Heegner mais partagent certaines propriétés dont les approximations par des entiers. Par exemple<math display="block">\begin{align} \mathrm e^{\pi \sqrt{88}} +8\,744 &\approx {\color{white}00\,00}2\,508\,952^2-0077\dots\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{148}} +8\,744 &\approx {\color{white}00\,}199\,148\,648^2-0000\,97\dots\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{232}} +8\,744 &\approx 24\,591\,257\,752^2-0000\,0078\dots\\ \end{align} </math>et<math display="block">\begin{align} \mathrm e^{\pi \sqrt{22}} -24 &\approx {\color{white}00}\left(6+4\sqrt2\right)^6+0000\,11\dots\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{37}} +24 &\approx \left(12+ 2 \sqrt{37}\right)^6 -0000\,0014\dots\\ \mathrm e^{\pi \sqrt{58}} -24 &\approx \left(27 + 5 \sqrt{29}\right)^6 -0000\,000\,0011\dots.\\ \end{align} </math>

Premiers consécutifs

Soit p un nombre premier impair. Il semblerait<ref>Question posée sur Modèle:Lien web, avec référence à Modèle:Article.</ref> que la suite (à valeurs dans <math>[2,p-1]</math>) des <math>k^2 \bmod p</math> pour <math>k=2,3,\dots,\frac{p-1}2</math> (par symétrie, il suffit de considérer ceux-là car <math>\left(p-k\right)^2\equiv k^2\bmod p</math>) donne une succession de nombres composés suivie d'une succession de nombres premiers, si et seulement si p est un nombre de Heegner.

Articles connexes

• Entier de Gauss (cas n = 1)
• Entier d'Eisenstein (cas n = 3)
• Problème du nombre de classes pour les corps quadratiques imaginaires (le nombre de classes est le cardinal du groupe des classes)