Système de numération

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Table d'équivalence entre le système de numération de Kaktovik (utilisant une base 20) et le système décimal.

Un système de numération est un ensemble de règles qui régissent une, voire plusieurs numérations données. De façon plus explicite, c'est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer les nombres, ces derniers étant nés, sous leur forme écrite, en même temps que l'écriture, de la nécessité d'organiser les récoltes, le commerce et la datation. Le système de numération indo-arabe est aujourd’hui le plus répandu dans le monde.

Principe de base

Modèle:Article détaillé Le système de numération le plus ancien, dit unaire (base 1), s'avère peu pratique lorsqu'il s'agit de manier des quantités importantesModèle:Sfn. La solution découverte par de nombreuses civilisations anciennes consiste à grouper les unités par paquets chaque fois qu'est atteinte une même valeur, qu'on appelle base de numération. Puis, on regroupe ces paquets en paquets d'ordre supérieur, et ainsi de suite<ref>Modèle:Lien web</ref>. Généralement, le nombre d'éléments de chaque paquet est identique et donne la base de la numération. Cependant, certains systèmes sont irréguliers, comme la numération maya, de caractère de base vigésimale, irrégulière afin d'être plus compatible avec un calendrier de Modèle:NobrModèle:Sfn ou la numération babylonienne, initialement de caractère sexagésimal, qui se transforme tardivement en une combinaison sexagésimale et décimaleModèle:Sfn. Le comptage usuel des durées est également irrégulier : soixante secondes pour une minute, soixante minutes pour une heure, vingt-quatre heures pour un jour, vingt-huit à trente-et-un jours pour un mois.

De nombreux systèmes ont été inventés et utilisés à des époques variées :

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Chiffres et nombres romains.
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Les chiffres et nombres mésopotamiens de 1 à 59 : base 60 avec sous bases 5 et 10.
  • Un système à base 32, utilisé en informatique<ref name=":0" />.

Certaines bases de numération sont plus particulièrement utilisées dans des domaines scientifiques, notamment en électronique numérique et en informatique. Consulter l'article Base (arithmétique) pour plus de détails.

Systèmes d'énonciation

Modèle:Article détaillé Certains nombres bénéficient exclusivement d'un nom simple, comme mille en français. Dans le cas contraire, plusieurs principes permettent de les composer :

  • l'addition : en français dix-sept (10+7), soixante-dix (60+10); en anglais twenty two (20+2) ;
  • la multiplication : quatre-vingts (4x20), deux cents (2x100) en français ; en anglais two thousand (2x1000) ;
  • la soustraction : dix-huit se dit Modèle:Lang en latin classique (deux-de-vingt, 20-2)<ref>Modèle:Lien web</ref> ;
  • la division : cinquante se dit Modèle:Lang en breton (moitié-[de-]cent, 100/2)<ref>Modèle:Lien web</ref> ;
  • la protraction (terme introduit par Claude Hagège) : trente-cinq se disait holhu ca kal en yucatèque (cinq-dix deux vingts, 15 2×20, soit 15 vers 2×20 ou 15 à partir de la vingtaine précédant 2×20, soit 15+20). Dans l'expression de 35 (comme dans celle de trente) il convient de restituer un relateur sous-entendu (ou effacé) qui était tu (en réalité ti+u avec ti = locatif 'vers' et u = indice personnel de Modèle:3e 'son' qui, dans ce contexte, servait à dériver l'ordinal depuis le cardinal; si bien que l'expression de 35 doit s'analyser comme étant « 15 vers la deuxième vingtaine »<ref>A. Cauty, Des spécificités des numérations mayas précolombiennes, Mémoire de la Société de Linguistique de Paris, Nouvelle Série, tome XII, 2002, Leuven (Belgique), Peters, Modèle:P.</ref>,<ref>A. Cauty, Le type protractif des numérations de l’aire maya, Faits de Langues, no 20, 2002 : Méso-Amérique, Caraïbes, Amazonie, Vol. 1, Paris, Ophrys, Modèle:P..</ref>.

Un système auxiliaire est parfois utilisé. Par rapport au système principal, celui-ci peut-être :

  • inférieur : la numération wolof est décimale mais utilise un système quinaire auxiliaire, vingt-six se dit ñaar fukk ak juroom benn en wolof (deux dix et cinq un, 2×10+5+1)<ref name=":1" /> ;
  • supérieur : la numération basque est décimale mais utilise un système vicésimal auxiliaire, cent cinquante-deux se dit en Modèle:Lang en basque (cent-et deux-vingts-et dix-deux, 100+2×20+10+2)<ref name=":2" />. De même, en français de France et en français Canadien (Québec) persistent quatre-vingt et quatre-vingt-dix (au lieu de huitante ou, anciennement, octante<ref>Modèle:Lien web</ref>, utilisé dans certains cantons en Suisse et nonante en Suisse et en Belgique), qui proviennent du système vicésimal médiéval, utilisé de façon auxiliaire au système principal décimal d'origine latine.

Enfin, certains nombres bénéficient d'une construction indépendante de la base employée. Ainsi, actuellement en breton, dix-huit se dit Modèle:Lang (trois-six, 3×6)<ref>Modèle:Lien web</ref>. On trouvait aussi anciennement Modèle:Lang (deux-neuf, 2×9), et, respectivement, pour quarante-cinq et quarante-neuf, Modèle:Lang (cinq neuf, 5×9) et Modèle:Lang (sept sept, 7×7)Modèle:Référence nécessaire.

Systèmes de mime

Plusieurs peuples se servent, ou se sont servis, traditionnellement des parties de leur corps pour compterModèle:Sfn. Pour un compte décimal ou quinaire, les doigts sont généralement mis à contributionModèle:Sfn. Les Yukis, qui emploient un système octal, utilisent des espaces entre les doigts pour compter. Le peuple chepang, qui emploie un système duodécimal, se sert du pouce pour compter sur les phalanges des doigts. Bien d'autres procédés encore ont été employés.

Systèmes de notation

Les symboles utilisés pour écrire les nombres sont les chiffres. Les règles d'utilisations de ces chiffres permettent de distinguer schématiquement trois principales familles de système de notation : les systèmes additifs, hybrides et positionnelsModèle:Sfn.

Les systèmes additifs

Modèle:Article détaillé Ces systèmes utilisent des chiffres pour représenter les puissances de la base, et éventuellement des sous-multiples de ces puissancesModèle:Sfn. Les autres nombres s'obtiennent par juxtaposition de ces symboles. Le lecteur a alors la charge d'additionner les valeurs des symboles pour connaitre le nombre. C'est le cas des systèmes de numération égyptien, grec, romain, gotique, ou plus simplement du système unaire ou de la numération forestière.

Il existe également des systèmes à la fois additifs et soustractifs. Ainsi, la numération romaine, additive, connait une variante additive et soustractive plus tardive.

Exemple de nombre romain en écriture additive : MMCCCXXVII vaut 2327=(1000+1000)+(100+100+100)+(10+10)+5+(1+1).

Exemple de nombre romain en écriture additive et soustractive: CMXCIV vaut 994 ( 100 ôté de 1000+10 ôté de 100+1 ôté de 5).

Les systèmes hybrides

Ces systèmes utilisent des chiffres pour les unités et pour les puissances de la baseModèle:Sfn. Les chiffres représentant une puissance de la base utilisés sont, au besoin, combinés avec un chiffre représentant une unité, et les nombres sont ainsi représentés par addition de multiples de puissances de la base. C'est le cas des systèmes de numération chinois et japonais. On peut remarquer qu'un tel système de notation comporte une forte analogie avec le système d'énonciation des nombres dans une majorité de langues. (Par exemple, en français, le nombre deux-mille-huit-cent-dix-sept, est aussi formé par addition de multiples de puissances de la base 10 : 2×10³+8×10²+1×10¹+7.)

Exemple : en numération japonaise le nombre 1975 s'écrit 千九百七十五. En effet 千 est le chiffre 1000, 百 le chiffre 100, 十 le chiffre 10, 九 le chiffre 9, 七 le chiffre 7, et 五 le chiffre 5. 千九百七十五 vaut donc : 1000+9x100+7x10+5=1975.

Les systèmes positionnels

Modèle:Article détaillé Ces systèmes utilisent des chiffres, dont la place dans l'écriture du nombre indique le poids qui leur est affecté (poids Modèle:Mvar0=1, poids Modèle:Mvar1=Modèle:Mvar, poids Modèle:Mvar2… pour une base Modèle:Mvar)Modèle:Sfn. C'est le cas des systèmes de numération maya et babylonien, ainsi que les systèmes de numération indien et arabe à l'origine des mathématiques modernes. Ils permettent d'écrire les nombres simplement quelle qu'en soit la base, en utilisant le zéro positionnel.

Dans un tel système, une base β nécessite β chiffres pour représenter tous les entiers, et chaque entier a alors une représentation unique<ref>Modèle:Lien web</ref>. La valeur généralement utilisée de ces chiffres va de 0 à β-1.

Exemples :

  • Base 2: les chiffres sont 0 et 1. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "10001" en base 2, soit : 1x2⁴+0x2³+0x2²+0x2+1 donc 1x16+0x8+0x4+0x2+1.
  • Base 5 : les chiffres sont 0,1, 2, 3 et 4. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "32" en base 5, soit : 3x5+2.
  • Base 36 : les chiffres sont les chiffres du système décimal et les lettres de l'alphabet. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "H" en base 36 car H est le Modèle:18e chiffre en base 36 (le premier étant 0).

Il existe aussi des types de représentations différents :

  • des systèmes k-adiques, sans 0, utilisant, pour une base β, des chiffres de 1 à β (ce sont des systèmes bijectifs) ;
  • des systèmes balancés utilisant, pour une base β impaire, des chiffres de -(β-1)/2 à (β-1)/2 ;
  • des systèmes redondants, utilisant pour une base β un nombre de chiffres strictement supérieur à β.

Un système sera dit incomplet<ref name="Fraenkel85" />, s'il ne permet pas de représenter tous les nombres. C'est le cas, par exemple, des systèmes de base β utilisant un nombre de chiffres strictement inférieur à β.

Plusieurs systèmes connaissent des applications en électronique et en informatique. Ces systèmes ont la particularité de représenter les nombres sur un nombre défini de positions, et ne peuvent donc représenter les entiers que jusqu’à une certaine borne. Par exemple,

Autres systèmes

Il existe aussi des systèmes alternatifs de représentations des nombres, soit dérivés du système positionnel, soit indépendants du concept de base tel qu'il a été défini plus haut. En voici quelques exemples,

Mathématiques

Définition

  • Un système de numération est<ref name="Rigo85"/> un triplet (<math>X</math>, <math>I</math>, ϕ), où <math>X</math> est l'ensemble à énumérer, <math>I</math> est un ensemble fini ou dénombrable de chiffres et ϕ est une application injective de <math>X</math> vers l'ensemble des suites de chiffres : ϕ : <math> X \hookrightarrow I^{\mathbb{N}}</math>, et on a : ϕ<math>(x)=(a_n (x))_{n\geqslant 0}</math>. L’application ϕ est appelée application de représentation, et ϕ(<math>x</math>) est la représentation de <math>x</math>. Les suites admissibles sont définies comme les représentations images ϕ(<math>x</math>), pour tout <math>x</math>∈<math>X</math>. Exemple : la fonction "numération décimale usuelle", si on choisit <math>I=\{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9\}</math>, et si <math>X</math> est l'ensemble ℕ des entiers naturels, associe à tout nombre entier naturel la suite de ses chiffres décimaux. On a donc ainsi ϕ(1950)=(0,5,9,1,0,0,...), et les suites admissibles sont les suites d'entiers naturels nulles à partir d'un certain rang.
  • Georg Cantor<ref>Modèle:Article.</ref> définit un système de numération comme la donnée d'une suite d'entiers naturels ak rangés par ordre croissant (dans le cas du système décimal : ak = 10k) et pour chacun, d'une valeur maximum mk du coefficient par lequel on s'autorise à le multiplier (dans le cas du système décimal : mk = 9). Il appelle représentation d'un entier naturel <math>n</math> toute suite infinie de coefficients ck, chaque ck étant un entier naturel au plus égal à mk, telle que la somme des ckak soit égale à <math>n</math>. Il démontre qu'un tel système est « simple », c'est-à-dire représente chaque entier <math>n</math> de façon unique, si et seulement si a0 = 1 et pour tout Modèle:Mvar, ak+1 = (1 + mk)ak<ref>Par exemple, en base usuelle décimale, la suite infinie (11000000...) représente le nombre 1+10+0+0+0... soit 11.</ref>, puis étend dans ce cas les représentations d'entiers aux représentations de réels (positifs), en ajoutant aux représentations d'entiers des séries infinies de la forme :Modèle:Retrait
  • Aviezri S. Fraenkel<ref name="Fraenkel85">Modèle:Article.

</ref> donne une définition générale de système de numération et décrit des cas d'unicité et de complétude : un système de numération est complet s'il permet de représenter tous les entiers.

  • L'étude systématique a été reprise dans le cadre des langages formels et la combinatoire par Michel Rigo<ref name="Rigo85">Modèle:Ouvrage.</ref>.
  • Le problème de la propagation du report a été étudié part Valérie Berthé, Christiane Frougny, Michel Rigo et Jacques Sakarovitch<ref name="BerthéFrougny2020">

Modèle:Article. </ref>.

Exemples de systèmes de numération

Modèle:Article détaillé

  • La numération en base Modèle:Mvar, entier <math>\geqslant2</math> : tout entier naturel Modèle:Mvar non nul s'écrit de manière unique sous la forme <math>n=\sum_{k=0}^{N} a_k b^k=a_0+a_1b+\cdots a_Nb^N</math>, avec les chiffres <math>a_k</math> vérifiant <math>0\leqslant a_k\leqslant b-1</math> et <math>a_N\not = 0</math> . Le nombre <math>N=\left\lfloor{\frac{\ln(n)}{\ln(b)}}\right\rfloor +1=\left\lfloor{\log_bn}\right\rfloor +1</math> est le nombre de chiffres de Modèle:Mvar en base Modèle:Mvar<ref>Modèle:Lien web</ref> (voir Logarithme#Nombre_de_chiffres_avant_la_virgule). De plus, tout réel <math>x</math> peut s'écrire, de manière unique si son développement est propre (autrement dit ne se termine pas par une suite infinie de <math>b-1</math> comme 0,999... qui s'écrit aussi 1,000...), sous la forme <math>x=\sum_{k=-\infty}^{N} a_k b^k</math> ( voir Non_unicité_de_représentation_de_certains_nombres).
  • La numération à bases mixtes <math>b_1,b_2,\cdots</math>, entiers <math>\geqslant2</math>, généralisant la précédente : tout entier naturel Modèle:Mvar non nul s'écrit de manière unique sous la forme <math>n=a_0+a_1b_1+a_2b_1b_2+\cdots +a_Nb_1\cdots b_N</math>, avec les chiffres <math>a_k</math> vérifiant <math>0\leqslant a_k\leqslant b_{k+1}-1</math> et <math>a_N\not = 0</math>. La représentation est dite factorielle lorsque <math>a_k=k+1</math>.
  • La numération en base non entière<ref>Modèle:Article.</ref> , utilisant notamment la base d'or, la base <math>\sqrt{2}</math> ou encore la base e.
  • La numération de Fibonacci<ref>Modèle:Ouvrage</ref>, obtenue par le théorème de Zeckendorf : la suite de Fibonacci définie par <math>F_0=0</math>, <math>F_1=1</math>, <math>F_{n+2}=F_{n+1}+F_n</math> permet d'écrire tout entier naturel Modèle:Mvar non nul de manière unique sous la forme <math>n=\sum_{k=2}^{N} \varepsilon_k F_k</math>, où les chiffres <math>\varepsilon_k\in\{0,1\}</math> vérifient <math>\varepsilon_N\not = 0</math>, et <math>\varepsilon_k\varepsilon_{k+1}=0</math> pour <math>2\leqslant k\leqslant N-1</math>.
  • La représentation en fraction continue : tout nombre réel s'écrit de manière unique sous la forme <math>x=a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\dots}}}</math> avec <math>a_0\in\mathbb{Z}</math> et <math>a_k\in\mathbb{N}^*</math> pour <math>k\geqslant1</math>, la suite des <math>a_k</math> étant finie pour un nombre rationnel, infinie pour un nombre irrationnel.
  • La décomposition en produit de nombres premiers est un système de numération, notamment utilisé par les calculateurs quantiques<ref>John Gribbin, La physique quantique, Modèle:2e éd., Pearson Education, 2007 Modèle:ISBN, Modèle:P..</ref>,
    <math>\forall n\in\mathbb{N}^*, \exists! (\alpha_p)_{p\in\mathcal{P}}\in\mathbb{N}^{(\mathcal{P})}: n = \prod_{p\in\mathcal{P}} p^{\alpha_p}</math>.

Système de numération fibré

Les chiffres proviennent d'une transformation non injective <math>T: X \to X</math>Modèle:Référence nécessaire.

  • En représentation q-adique, le "chiffre des unités" est donné par <math>\varepsilon(n) = n\, (\text{mod}\, q)</math> et la suite des chiffres par <math>\varepsilon_k(n) = \varepsilon(T^k(n))</math> où T est l'application <math>T(n)=({n - \varepsilon(n)})/q</math>.
  • La suite des chiffres de la représentation en fractions continues provient de <math>\varepsilon(x) = \lfloor 1/x \rfloor</math> et l'application de Gauss <math>T(x)=1/x - \epsilon(x)</math>.

Notes et références

<References/>

Bibliographie

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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