Constante d'Apéry
En analyse mathématique, la constante d'Apéry est la valeur en Modèle:Math de la fonction zêta de Riemann :
Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1978 que ce nombre est irrationnel.
On n'en connaît pas de forme fermée.
Décimales connues
Cette constante était connue avec Modèle:Unité en 1998<ref>Voir les messages de Sebastian Wedeniwski et Simon Plouffe : Modèle:Lien web et Modèle:Lien web.</ref>, 1 000 000 000<ref>Modèle:Lien web.</ref> en 2003 et jusqu'à Modèle:Unité en 2015<ref>Modèle:Lien web.</ref>.
Occurrences
Ce nombre apparaît dans diverses situations :
- dans différents problèmes de physique, dont les termes de deuxième et troisième ordre du rapport gyromagnétique de l'électron en électrodynamique quantique ;
- en théorie des graphes<ref>Modèle:Article.</ref> ;
- en compagnie de la fonction gamma lors de la résolution de certaines intégrales qui font appel aux fonctions exponentielles (par exemple dans la solution à deux dimensions du modèle de Debye) ;
- en théorie des nombres : pour tout entier k > 1, la probabilité pour que k entiers > 0 pris au hasard n'aient aucun facteur commun est égale à 1/Modèle:Math(k) (cf. [[Fonction zêta de Riemann#Représentation de 1/ζ et fonction M de Mertens|§ « Représentation de 1/Modèle:Math et fonction M de Mertens » de l'article « Fonction zêta de Riemann »]]), en particulier, la probabilité pour trois nombres d'être premiers entre eux est égale à l'inverse de la constante d'Apéry, 1/Modèle:Math(3) Modèle:≃…<ref>Suite Modèle:OEIS2C de l'OEIS.</ref>.
Irrationalité
Modèle:Article détaillé Le nombre Modèle:Math est irrationnel<ref>Modèle:Article.</ref>.
Modèle:Démonstration}}</math> avec
- <math>P(x) = 34 x^3 +51x^2+27x+5.</math>
En notant les réduites de la fraction <math>\frac{p_n}{q_n}</math>, on peut montrer que
- <math>\left|\zeta(3) - \frac{p_n}{q_n}\right|<\frac{1}{q_n^{1,06}},</math>
ce qui permet de conclure<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>. }}
On ne sait pas s'il est transcendant<ref>Modèle:MathWorld.</ref>.
Par comparaison, pour tout entier Modèle:Math, le nombre [[Fonction zêta de Riemann#Valeurs de la fonction zêta pour s entier pair non nul|Modèle:Math]] est transcendant car commensurable à Modèle:Math (par exemple : [[Problème de Bâle|Modèle:Math]]).
Représentations par des séries
Séries classiques
- <math>\zeta(3)=</math><ref>Modèle:Article.</ref>,<ref>Modèle:Article, Modèle:P. (1.11).</ref> <math>-\frac{4\pi^2}7\sum_{k=0}^\infty\frac{\zeta(2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}</math> (avec <math>{\zeta(2k) = (-1)^{k+1} \frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2(2k)!} }</math>, où les <math>{\textstyle{B_{2k}}}</math> sont les nombres de Bernoulli).
- <math>\zeta(3)=</math><ref name=Exo9-2>Modèle:Note autre projet</ref> <math>\frac87\sum_{k=0}^\infty \frac1{(2k+1)^3}=\frac87\lambda(3)</math>, où Modèle:Mvar est la fonction lambda de Dirichlet<ref>Modèle:MathWorld.</ref>.
- <math>\zeta(3)=</math><ref name=Exo9-2/> <math>\frac43\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(k+1)^3}=\frac43\eta(3)</math>, où Modèle:Mvar est la fonction êta de Dirichlet.
- <math>\zeta(3)=</math><ref>Modèle:Article (Modèle:P.).</ref>,<ref>Modèle:Note autre projet</ref> <math>\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}\sum_{k=1}^n\frac1k=\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{H_n}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{H_{n-1}}{n^2}</math>, où Modèle:Mvar est le Modèle:Mvar-ième nombre harmonique.
- <math>\zeta(3)=</math><ref>Modèle:Article, (1.5).</ref> <math>8\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nH_{n-1}}{n^2}</math>.
Convergence rapide
Il est à noter que contrairement aux autres formules dans ce paragraphe, la première a été déterminée au 19ème siècle, dès 1830 et ce par Clausen :
- <math>\zeta(3)=\frac{\pi}2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}n}{2^{4n}(2n+1)^2}-\frac38\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{\binom{2n+1}n(n+1)^3}</math>.
- <math>\zeta(3)=</math><ref>Formule trouvée par Modèle:Chapitre, puis redécouverte et utilisée par Apéry.</ref> <math>\frac52\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{\binom{2n}nn^3}</math>.
- <math>\zeta(3)=</math><ref>Trouvée par Modèle:Article, cette série donne (asymptotiquement) Modèle:Refsou.</ref> <math>\frac14\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(56n^2-32n+5)}{\binom{3n}n\binom{2n}nn^3(2n-1)^2}</math>.
- <math>\zeta(3)=</math><ref>Trouvée par Modèle:Article, cette série donne (asymptotiquement) Modèle:Refsou.</ref> <math>\frac1{64}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nn!^{10}}{(2n+1)!^5}\left(205n^2+250n+77\right)</math>.
- <math>\zeta(3)=</math><ref>C'est cette formule, tirée de Modèle:Harvsp, que Wedeniwski a utilisée pour son record de 1998 de calcul des décimales de cette constante. Cette série donne (asymptotiquement) Modèle:Refsou.</ref> <math>\frac1{24}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n\left[(2n+1)!(2n)!n!\right]^3}{(4n+3)!^3(3n+2)!}\left(126\,392n^5+412\,708n^4+531\,578n^3+336\,367n^2+104\,000n+12\,463\right)</math>.
Autres
Les Cahiers de Ramanujan<ref>Modèle:Ouvrage, formules 25.1 et 25.3.</ref> ont inspiré à Simon Plouffe les formules suivantes<ref>Modèle:Lien web.</ref> :
- <math>\zeta(3)=\frac7{180}\pi^3-2\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3(\mathrm e^{2\pi n}-1)}</math> ;
- <math>\zeta(3)=14\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3\sinh(\pi n)}-\frac{11}2\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3(\mathrm e^{2\pi n}-1)}-\frac72\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3(\mathrm e^{2\pi n}+1)}</math>.
Srivastava<ref>Voir Modèle:Harvsp.</ref> a collecté de nombreuses séries qui convergent vers Modèle:Math.
Représentations par des intégrales
Formules simples
La première est issue de la définition de la [[Fonction zêta de Riemann|fonction Modèle:Math]] par une série et les deux suivantes, d'expressions intégrales bien connues de cette fonction :
- <math>\zeta(3)=\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac1{1-xyz}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> ;
- <math>\zeta(3)=\frac12\int_0^\infty\frac{x^2}{\mathrm e^x-1}\,\mathrm dx=\frac23\int_0^\infty\frac{x^2}{\mathrm e^x+1}\,\mathrm dx</math>.
- <math>\zeta(3)=\frac47\int_0^\frac\pi2x\ln{(\sec x+\tan x)}\,\mathrm dx</math>.
Elle ressemble à cette expression de la constante de Catalan Modèle:Math :
- <math>\mathrm K=\frac12\int_0^\frac\pi2\ln{(\sec x+\tan x)}\,\mathrm dx</math>.
Une autre formule similaire, issue du développement en série entière de la fonction complexe <math>\ln{(1-z)}</math> :
- <math>\zeta(3)=\frac87\int_0^\frac\pi2x\ln{\tan x}\,\mathrm dx</math>
De manière analogue, la constante de Catalan s'exprime par :
- <math>\mathrm K=-\int_0^\frac\pi4\ln{\tan x}\,\mathrm dx</math>
Formules plus compliquées
- <math>\zeta(3)=</math><ref>Modèle:Article.</ref> <math>\pi\!\!\int_{0}^{\infty} \! \frac{\cos(2\arctan{x})}{\left(x^2+1\right)\cosh^2\frac{\pi x}2}\,\mathrm dx</math>.
- <math>\zeta(3)=</math><ref>Modèle:Article.</ref> <math>-\frac12\int_0^1\int_0^1\frac{\ln(xy)}{1-xy}\,\mathrm dx\,\mathrm dy=-\int_0^1\int_0^1\frac{\ln(1-xy)}{xy}\,\mathrm dx\,\mathrm dy</math>.
- <math>\zeta(3)=</math><ref>Modèle:Harvsp.</ref> <math>\int_0^1\frac{\ln x\ln(1-x)}x\,\mathrm dx</math>.
- <math>\zeta(3)=</math><ref>Modèle:Article.</ref> <math>\frac{8\pi^2}7\int_0^1\frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\ln\ln\frac1x}{(1+x^2)^4}\,\mathrm dx=\frac{8\pi^2}7\int_1^\infty\frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\ln\ln x}{(1+x^2)^4}\,\mathrm dx</math>.
- <math>\zeta(3)=</math><ref>Modèle:Ouvrage, ex. 30.10.1.</ref> <math>-\tfrac12\Gamma'(1)+\tfrac32\Gamma'(1)\Gamma(1)-\big(\Gamma'(1)\big)^3=-\tfrac12\psi_2(1)</math>, et l'on connaît des représentations intégrales de la fonction gamma et ses dérivées, et de la fonction digamma.
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Voir aussi
Articles connexes
- Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann
- Nombres premiers issus de troncature de cette constante
