Pendule de Foucault

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Modèle:Autre4

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Pendule de Foucault du Panthéon de Paris.

Le pendule de Foucault, du nom du physicien français Léon Foucault, est un dispositif expérimental conçu pour mettre en évidence la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen. Le résultat de l'expérience dans le référentiel non galiléen lié à un observateur terrestre s'explique par l'effet de la force de Coriolis<ref>Modèle:PdfAlexandre Moatti, Coriolis, naissance d’une force, sur le site education.fr, consulté le 31 mai 2016.</ref>.

Historique

Fichier:Foucault.jpg
Léon Foucault (1819-1868)
Fichier:Pendule de Foucault au musee des arts et metiers.jpg
Pendule de Foucault du musée des Arts et métiers de Paris
Fichier:Musée du temps Besançon 14.jpg
Pendule de Foucault du musée du Temps de Besançon

Modèle:Citation bloc.

La première expérience a lieu le Modèle:Date- dans la cave de sa maison située au carrefour des rues d'Assas et de Vaugirard (Paris)<ref>Modèle:Ouvrage</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage</ref>. La première démonstration publique date de 1851, le pendule étant accroché à la voûte du Panthéon de Paris. L'intérêt du pendule, imaginé et réalisé par Foucault, est de mettre en évidence la rotation de la Terre, manifestée par la déviation constante du plan d'oscillation du pendule.

Fichier:Foucault pendulum at north pole animated.gif
Un pendule de Foucault au pôle nord. Le pendule oscille dans un plan fixe par rapport aux étoiles alors que dessous, la Terre tourne indépendamment.
Fichier:Foucault-anim.gif
A. Animation d'un pendule de Foucault qui serait attaché à la coupole (Modèle:Unité de haut) du Panthéon de Paris (latitude de 48° nord) mais où la vitesse de rotation de la Terre serait très exagérée. Le pendule est tendu (ici à une distance très exagérée de Modèle:Unité à l'est du centre au lieu de Modèle:Unité) par une corde qu'on brûle pour le libérer après l'arrêt de toute oscillation du câble. Le pendule se dirige alors vers le centre en prenant de la vitesse (panache de couleur rouge), mais en raison de la rotation de la Terre, la force de Coriolis fait dévier la trajectoire initiale vers le nord. En remontant, le pendule perd de la vitesse et la force de déviation s'atténue également. Il s'arrête donc le long d'une direction qu'il reprend dans l'autre sens. Le point de rebroussement de la trajectoire au sol est visualisé en vert. Au retour, le sens de la vitesse est inversé et le pendule est dévié au sud du centre. Ce centre est visualisé dans l'animation par un poteau central éclairé par le soleil de midi. Une rotation de la Terre s'effectuant beaucoup plus lentement que dans l'animation, ce poteau central devrait être extrêmement fin (de l'ordre du millimètre de diamètre) pour ne pas être heurté. Il ne figure pas au Panthéon. Le pendule s'arrête de nouveau à l'est mais sa position a subi une légère rotation vers le sud. Cette rotation est moindre que la rotation de la Terre durant la même période comme l'indique la rotation de l'ombre du poteau au sol. La vitesse de rotation du plan principal de rotation est inversement proportionnelle au sinus de la latitude où se trouve le pendule. Dans ce plan principal de rotation, le pendule oscille de part et d'autre en effectuant ainsi une ellipse visualisée en bleu. Voir également l'animation B

Il ne semble pas que Foucault ait été informé des travaux de Coriolis portant sur les lois de la dynamique dans un référentiel non inertiel, datant de 1832. C'est donc de manière purement empirique qu'il mena son expérience, et seulement après coup que les mécaniciens expliquèrent l'expérience par l'utilisation de la force de Coriolis<ref>Modèle:Ouvrage</ref>. Si le principe général fut rapidement expliqué, il fallut attendre bien plus longtemps pour en comprendre toutes les subtilités, notamment avec la thèse de Kamerlingh Onnes en 1879<ref>Modèle:Ouvrage</ref>.

Si l'on considère le plan déterminé par :

  • le point de fixation du pendule (la voûte du Panthéon de Paris par exemple),
  • sa position au repos, donc la verticale du lieu où il est suspendu,
  • le point d'où il est lâché sans vitesse initiale (sans vitesse relative locale),

l'expérience met en évidence :

  • que le plan d'oscillation du pendule est en rotation autour de l'axe de la verticale du lieu,
  • que ce plan d'oscillation tourne dans le sens horaire dans l'hémisphère nord et dans le sens inverse dans l'hémisphère sud.
  • que le plan d'oscillation effectue un tour complet en un jour sidéral aux pôles (soit Modèle:Nobr), mais qu'ailleurs la période est plus longue et doit être divisée par le sinus de la latitude. Cette période définit le jour pendulaire. À une latitude de 30°, le jour pendulaire est donc de Modèle:Nombre et à 45° de latitude de 1,4 jour. À l'équateur le pendule oscille dans un plan fixe. Une seconde expérience notable<ref> Jones Lamprey A.B. M.B. & H. Schaw R.E. (1851) LXI. An account of pendulum experiments made at Ceylon, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 2:12, 410-412, DOI: 10.1080/14786445108645734 </ref> qui a eu lieu en fin de cette même année 1851 dans une église de Colombo à Ceylan à une latitude de Modèle:Angle donc très proche de l'équateur a démontré que la loi du sinus de Foucault se vérifiait.

Cette expérience historique, répétée par la suite en de nombreux endroits non sans mal en raison des difficultés de sa mise en oeuvre<ref>Hagen, J. G. and de Vregille, P., "La Rotation de la Terre ses Preuves Mécaniques Anciennes et Nouvelles", Specola Astronomica Vaticana Pubblicazioni Serie Seconda, vol. 1, p. Bi–BPVI, 1912.</ref>, a permis de vérifier le bien-fondé des lois du mouvement de Newton.

En 1851, les lâchers du pendule du Panthéon avaient un certain cérémonial. Léon Foucault décrit dans un compte rendu à l'Académie des Sciences la manière dont il procède, après avoir fait des essais dans une cave privée avec un pendule de Modèle:Unité de long, avec un pendule de Modèle:Unité accroché dans la salle de la Méridienne à l'Observatoire de Paris : Modèle:Citation bloc

Aujourd'hui on trouve généralement un mécanisme magnétique qui permet d'entretenir le mouvement car en raison des frottements de l'air celui du Panthéon n'oscille que durant 6 heures.

L'expérience du pendule du Panthéon n'était pas suffisamment convaincante pour beaucoup de contemporains ce qui a poussé Foucault à inventer l'année suivante le gyroscope dont l'axe reste parallèle à une direction fixe par rapport aux astres et cela, quelle que soit la latitude.

Mise en équation

Pour simplifier, nous supposerons l'amplitude des oscillations suffisamment faible pour admettre que la masse oscillante du pendule se déplace horizontalement. Notons Oxy ce plan horizontal, avec O position de la masse au repos, Ox axe horizontal dirigé vers l'est (et donc tangent au parallèle), et Oy dirigé vers le nord (et donc tangent au méridien). Le troisième axe Oz sera vertical, dirigé vers le haut.

Cas du pendule simple

Sans tenir compte de la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen et dans le cas de petites oscillations, les équations du mouvement sont celles du pendule simple, à savoir : <math> \left \{ \begin{matrix} \ddot{x} = - \omega^2 x\\ \ddot{y}= - \omega^2 y \end{matrix} \right.</math> où ω est la pulsation propre du pendule simple, soit : <math>\omega = \sqrt{g/l}</math> où g est l'accélération de la pesanteur et l la longueur du pendule. À titre d'exemple, si à l'instant t = 0, le pendule passe en O avec la vitesse V0 selon l'axe Ox, alors, la solution à ce système est :

<math> \left \{ \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega} \sin(\omega t), \\ y = &0. \end{matrix} \right.</math>

Cas du pendule de Foucault

Avec la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen, il faut tenir compte des forces induites par la rotation dont tout particulièrement l'accélération de Coriolis. Cette dernière s'écrit <math>-2 \Omega (\vec{k}\wedge\vec{v})</math> où <math>\vec{v}</math> est la vitesse du pendule par rapport à la Terre, <math>\vec{k}</math> est le vecteur unitaire porté par l'axe de rotation terrestre et Ω la vitesse de rotation angulaire de la Terre (à savoir un tour en un jour sidéral). Cette vitesse de rotation Ω est beaucoup plus faible que la pulsation propre ω du pendule.

Si on se trouve à la latitude θ, alors le vecteur <math>\Omega \vec{k}</math> se décompose, dans un repère lié au sol, en une composante de valeur <math>\Omega \sin{\theta}</math> sur une verticale du lieu et une composante <math>\Omega \cos{\theta}</math> dans un plan horizontal dont on peut orienter l'axe des coordonnées y vers le nord pour simplifier. Dans ce repère, le vecteur <math>\Omega \vec{k}</math> a pour coordonnées <math>\begin{pmatrix} 0\\ \Omega \cos{\theta} \\ \Omega \sin{\theta} \end{pmatrix}</math>. Si on note <math>\begin{pmatrix} \dot{x}\\ \dot{y} \\ \dot{h}\end{pmatrix}</math> les coordonnées du vecteur <math>\vec{v}</math>, l'accélération de Coriolis subie par le pendule <math>-2 \Omega (\vec{k}\wedge\vec{v})</math> a pour composantes <math>\begin{pmatrix} 2\dot{y} \Omega \sin{\theta} - 2\dot{h} \Omega \cos{\theta}\\ - 2\dot{x} \Omega \sin{\theta} \\ 2\dot{x} \Omega \cos{\theta} \end{pmatrix}</math>.

En négligeant l'influence des déplacements verticaux (h), les équations du mouvement dans le plan Oxy deviennent : <math> \left\{\begin{matrix} \ddot{x} = - \omega^2 x + 2\dot{y} \Omega\sin{\theta},\\ \ddot{y} = - \omega^2 y - 2\dot{x} \Omega \sin{\theta}.\end{matrix}\right.</math>

En utilisant la notation complexe <math>z=x+iy</math>, le système à résoudre se réduit à l'équation : <math> \ddot{z}+2i\Omega\sin{\theta} \dot{z} + \omega^2 z = 0. </math>

Proposons une solution classique de la forme <math>z(t)=e^{rt}</math>, on en déduit que le complexe <math>r</math> doit vérifier l'équation du second degré : <math>r^2+2i\Omega\sin(\theta)r + \omega^2=0</math> qui s'écrit aussi : <math>\left(r+i\Omega\sin(\theta)\right)^2- i^2\omega^2\left(1+\sin^2(\theta)\frac{\Omega^2}{\omega^2}\right)=0.</math>

En notant <math>\omega_0 = \sqrt{\omega^2 + \Omega^2 \sin^2(\theta)}</math>, les deux solutions de l'équation du second degré sont: <math>r=-i(\Omega\sin(\theta) \pm \omega_0)</math> et on peut alors en déduire que la solution générale du système est de la forme:

<math>z(t)= e^{-i \Omega \sin{\theta} t} \left(c_1 e^{i\omega_0t} + c_2 e^{-i\omega_0t}\right). \qquad\qquad(1)</math>

où <math>c_1</math> et <math>c_2</math> sont deux constantes indépendantes, en général complexes, qu'on peut déterminer par deux conditions initiales indépendantes comme, la position du pendule et sa vitesse à la date <math>t=0</math> qui conduisent aux deux équations:

<math> \left \{ \begin{align} z(0) = & c_1 +c_2 \,,\\ \dot{z}(0) = &-i \left(\Omega\sin(\theta) z(0) - \omega_0 (c_1-c_2) \right). \end{align}\right.</math>

En remplaçant les expressions trouvées pour les deux constantes dans l'équation (1), on peut alors écrire une équation plus aisément interprétable :

<math> z(t) =e^{-i \Omega \sin{\theta} t} \left[z_0\left(\cos(\omega_0 t) +i \frac{\Omega \sin\theta}{\omega_0}\sin(\omega_0 t) \right) + \frac{\dot{z}_0}{\omega_0} \sin(\omega_0 t)\right]. \qquad\qquad(2)</math>

Ainsi, si la vitesse initiale <math>\dot{z}_0</math> est nulle et si la position initiale est écartée du point d'équilibre, c'est-à-dire <math>z_0</math> non nulle, la trajectoire au sol du pendule dans un repère tournant selon une pulsation <math>\Omega \sin(\theta)</math> est une ellipse parcourue en une période de <math>\frac{2\pi}{\omega_0}</math>.

Si <math>\dot{z}_0</math> est non nulle mais un imaginaire pur, le mouvement elliptique est perturbé par une oscillation perpendiculaire au plan principal d'oscillation et de même fréquence <math>\omega_0\,</math>.

Fichier:Le petit Parisien illustre 2nov1902.jpg
Le pendule est libéré lorsqu'on brûle la corde. La vitesse initiale est donc nulle par rapport à la Terre, mais le pendule ne revient pas exactement dans le même plan mais légèrement décalé démontrant ainsi la rotation de la Terre par rapport aux astres célestes. Au bout d'une heure le public, nombreux en 1902 pour le cinquantenaire, pouvait voir que le plan d'oscillation s'était décalé de 11°.

Examinons alors deux manières de lancer le pendule:

  • Supposons que le pendule soit propulsé depuis la position d'équilibre (<math>z(0)=0</math>) vers l'est à la vitesse <math>V_0</math> (<math>\dot{z}(0)=V_0</math>) et nous obtenons le mouvement décrit par l'équation :
<math> z(t)= \frac{V_0}{\omega_0} \sin(\omega_0 t) e^{-i\Omega\sin(\theta)t }.</math>
L'exponentielle complexe mise en facteur montre que la dynamique du pendule se décompose en un mouvement pendulaire simple (sinusoïdal de pulsation <math>\omega_0</math>) au sein d'un plan qui tourne lentement en raison de la rotation de la Terre (<math>\Omega</math>) mais dont seule la composante verticale en ce lieu, <math>\Omega\sin(\theta)</math>, ne compte.
À chaque oscillation, le pendule repasse exactement par sa position de lancement qui est aussi sa position d'équilibre. On ne voit pas comment un tel mouvement peut être initié de manière simple. Dans le cas général, le pendule s'écarte de part et d'autre du plan tournant et ce n'est que par cet artefact de conditions initiales très difficiles à réaliser en pratique que le mouvement pourrait rester dans un plan et osciller au sein de ce plan comme un pendule simple.
  • Supposons, comme le fit Foucault, que le pendule soit écarté de sa position d'équilibre par une corde tendue (par exemple vers l'est depuis une position distante de <math>z_0</math> mètres par rapport à l'équilibre) et qu'on la brûle (voir un détail du lancement lors du cinquantenaire en 1902) afin de libérer le pendule avec une vitesse initiale nulle (<math>\dot{z}_0=0</math>) <ref> Il s'agit de la vitesse initiale par rapport au dôme du Panthéon, c'est-à-dire par rapport à la Terre et non de la vitesse absolue qui est celle de la rotation de la Terre par rapport aux astres à la latitude du Panthéon.</ref>, on obtient la solution suivante :
<math> z(t)= z_0 e^{-i\Omega\sin(\theta)t} \left[\cos(\omega_0t) + i \frac{\Omega\sin(\theta)}{\omega_0} \sin(\omega_0 t) \right]\qquad\qquad(3)</math>
Il suffit de tracer la courbe paramétrée par la partie réelle (longitude est) et la partie imaginaire (latitude nord) pour obtenir le tracé au sol de couleur verte de l'animation A (cliquer sur l'animation pour lire le programme de tracé en langage Gnuplot correspondant) même si la vitesse de rotation de la Terre est très exagérée (pour une visualisation des phénomènes) et de l'ordre d'une rotation en Modèle:Nombre au lieu d'une rotation par Modèle:Nombre.
Si on met une caméra dans le plan d'oscillation du pendule, on obtient l'animation B où le référentiel terrestre tourne. On peut remarquer, contrairement au cas simple examiné précédemment mais qui correspondait à un lâcher difficilement réalisable, que le pendule n'oscille pas rigoureusement dans le plan tournant mais s'en écarte de part et d'autre selon l'ellipse de couleur bleue décrite dans la grande parenthèse de l'équation (3).
Fichier:Foucault-rotz.gif
B. Pendule de Foucault de Modèle:Unité lâché au Panthéon de Paris à une distance de Modèle:Unité à l'est du point d'équilibre avec une vitesse initiale nulle. La vitesse de rotation de la Terre est exagérée (1 tour en Modèle:Nombre), comme aussi l'amplitude d'oscillation. Vue d'une caméra liée au plan d'oscillation.
Il est également possible de voir le même pendule depuis le soleil, c’est-à-dire depuis une caméra fixe par rapport aux étoiles (animation C).
Fichier:Foucault-soleil.gif
C. Pendule de Foucault de Modèle:Unité lâché au Panthéon de Paris à une distance de Modèle:Unité à l'est du point d'équilibre avec une vitesse initiale nulle. La vitesse de rotation de la Terre est exagérée (1 tour en Modèle:Nombre). Vue d'une caméra liée au soleil.

Le pendule de Foucault du Panthéon à Paris oscille avec une pulsation propre <math>\omega_0</math> extrêmement proche de celle du pendule simple <math>\omega</math> (les 8 premiers chiffres sont identiques) puisque <math>\Omega</math> est très petit devant <math>\omega</math>. La période d'oscillation, <math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}</math> vaut, si la longueur du fil fait Modèle:Unité, Modèle:Unité.

Le rapport du petit côté de l'ellipse sur le grand côté a pour expression <math>\frac{\Omega \sin(\theta)}{\omega_0}</math> et est très petit. Le pendule de Foucault oscille donc quasiment dans un plan qui tourne en raison de la rotation de la Terre. Mais le plan n'effectue un tour complet en Modèle:Nombre qu'aux pôles. À une latitude <math>\theta</math> donnée, la période, <math>\frac{2\pi}{\Omega \sin(\theta)}</math>, inversement proportionnelle au sinus de cette latitude, est plus longue. Cette période définit le jour pendulaire (pendulum day). Le sinus de 30° valant 1/2, un pendule de Foucault implanté à une latitude de 30° effectuerait un tour complet en Modèle:Nombre. La durée d'une rotation complète d'un pendule de Foucault situé à une latitude autre que l'équateur permet ainsi de déterminer cette latitude indépendamment de toute autre mesure. À la latitude nord de Modèle:Angle du Panthéon à Paris, le plan fait un tour complet en T = 31 h 47 min et 16 s ; et, en une heure, il tourne de <math>-\Omega\sin\left(\frac{(48+52/60)\times 2 \pi}{360}\right)\times\fracModèle:360^\circ{2\pi}\times3600= -11^\circ 19 ' \quad</math>, où <math>\Omega\approx\frac{2\pi}{86164}</math> est la vitesse de rotation de la Terre sur elle-même, exprimée en radians par seconde, et correspondant à la durée du jour sidéral qui est de Modèle:Nombre, Modèle:Unité et 4 secondes.

Fichier:Foucault-reel-vitesse-nulle.png
D. Lâcher du pendule de Foucault à Modèle:Unité à l'est du centre de la coupole du Panthéon à Paris : traces au sol des Modèle:Nombre oscillations (longitudes en mètres, latitudes en millimètres)

La figure D, ci-contre, représente les Modèle:Nombre oscillations après un lâcher à vitesse nulle à une distance de Modèle:Unité à l'est du centre de la coupole du Panthéon. Étant donné la faible déviation vers le nord par rapport au déplacement est-ouest du pendule durant ces trois premières oscillations, l'échelle de l'ordonnée (sud-nord) est multipliée par 1000 ce qui correspond à un déplacement en millimètre. La force de Coriolis, perpendiculaire au déplacement et proportionnelle à la vitesse, fait dévier le pendule de son plan d'oscillation initial vers le nord ; elle est maximale lorsque la vitesse est maximale c’est-à-dire lorsque le pendule passe près du point d'équilibre, qu'il dépasse de <math>z_0\frac{\Omega\sin(\theta)}{\omega_0} =0,86\,\mathrm{mm}</math> au nord. Le pendule s'arrête au bout d'une demie période (donc Modèle:Nombre) à l'opposé et a encore été dévié vers le nord. Au retour, le sens de la vitesse est inversé et la force de Coriolis fait déplacer le pendule vers le sud. Il passe à Modèle:Unité au sud du point d'équilibre puis s'arrête à Modèle:Unité au sud du point de lancement à la fin de la période d'oscillation soit après Modèle:Unité : avec un fil assez long respectant la latitude, il est possible de rendre (presque) visible à l’œil le déplacement sur le chemin circulaire entre une période et l'autre (vitesse tangentielle discrétisée), en transformant l'expérience en une démonstration spectaculaire. La vitesse du pendule par rapport à notre repère terrestre étant alors nulle, la force de Coriolis est donc nulle et le pendule repart dans la même direction en effectuant un point de rebroussement.

On remarque sur les figures A, B et C un poteau central éclairé par le soleil (le lâcher est simulé à midi un jour d'équinoxe) et son ombre portée sur le sol. Si l'extrémité du pendule se terminait par une tige de Modèle:Unité de diamètre, le diamètre de ce poteau ne devrait pas excéder lui aussi Modèle:Unité pour que ce dernier ne soit pas emporté à la première oscillation. Il semble néanmoins assez irréaliste d'installer un tel poteau, comme une fibre optique, car les fluctuations dues aux imperfections du lancer, aux courants d'air, aux vibrations de toute sorteModèle:Etc., semblent beaucoup plus importantes.

Le pendule : quel système de référence ?

Le pendule de Foucault pose la question de la nature du repère qui sert de référence. En effet, tout mouvement est relatif. Si la Terre est en rotation, elle l'est par rapport à quelque chose ; on ne peut pas parler d'un mouvement sans définir un cadre de référence. Dans la physique classique non-relativiste, donc avec métrisation euclidienne (voir l’équation ci-dessus), on fait l'hypothèse que le pendule oscille dans un plan fixe dans le référentiel galiléen (inertiel pour ce qui concerne les rotations).

Les mesures montrent que les étoiles distantes<ref>hors de notre galaxie, qui ne forme pas un référentiel galiléen, car notre galaxie est en rotation sur elle-même.</ref> semblent former, en première approximation, un référentiel par rapport auquel le plan d’oscillation du pendule paraît être fixe, donc, en première approximation, le repère galiléen peut être lié aux étoiles distantes, et donc, dans l'équation précédente, la Terre tourne autour de son axe avec <math>\Omega </math>, égale à la vitesse de rotation sidérale.

Mais comment est défini exactement ce référentiel ? Qu’a-t-il de particulier pour que le pendule reste fixe par rapport à celui-ci et pas un autre ? Cette question reste toujours sujette à controverse<ref name="BGMC">Brian Greene La Magie du cosmos Robert Laffont. 2005 Modèle:P. à 101</ref>.

Cette question ne posait pas de problème fondamental au temps de Foucault, car il était généralement admis à cette époque qu’il existait un espace absolu, tel que l’avait postulé Newton dans ses Principia Mathematica, par rapport auquel tous les mouvements sont définis, et qui forme donc un référentiel naturel d'oscillation du pendule.

Cette notion d’espace absolu avait été critiquée notamment par Leibniz et d’autres philosophes, mais restait un concept dominant vers la fin du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, d’autant que la découverte alors récente des ondes électromagnétiques par Maxwell semblait impliquer l’existence d’un éther luminifère qui constituait également un repère absolu. À cette époque, le physicien Ernst Mach essaye de nouveau d’apporter une critique de l’espace absolu, et postule le principe de Mach, selon lequel l’inertie des objets matériels est définie par rapport à un référentiel constitué par les masses distantes. Selon ce principe, dans un univers sans aucun objet matériel, l’espace absolu serait inobservable. On n’y sentirait donc aucune accélération ni force centrifuge, et le pendule n’y oscillerait pas selon un plan fixe. Si le principe de Mach est vrai, alors le référentiel d’oscillation du pendule serait le référentiel défini par la distribution de la matière de tout l’univers, et serait donc lié aux étoiles distantes, comme cela est observé<ref>Toutefois, même si le principe de Mach est vrai, on constaterait tout de même une très faible dérive par rapport aux étoiles distantes, due à l’influence de la masse de la Terre, qui entrerait aussi en compte dans les forces d’inertie.</ref>.

Au début du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, Albert Einstein élabore la théorie de la relativité, guidé en partie par le principe de Mach. Einstein espérait démontrer le principe de Mach à partir des équations de la théorie de la relativité générale. Mais des difficultés théoriques rendaient difficile cette démonstration, et Einstein finit par y renoncer<ref name="BGMC"/>. La théorie de la relativité semble alors en contradiction avec le pendule de Foucault : cette théorie postule qu’il n’existe aucun référentiel privilégié, et pourtant on constate que le pendule de Foucault privilégie un référentiel précis.

Cependant, la théorie de la relativité générale implique l’existence d’une entité, l’espace-temps, qui possède une réelle existence physique<ref name="BGMC"/>, et qui existe indépendamment des masses, même si l’espace-temps est déformé et modelé par elles<ref name="WT">Modèle:Ouvrage</ref>. L’espace-temps permet donc de définir un référentiel par rapport auquel le pendule ne tourne pas<ref name="WT"/>,<ref> Assis à cheval du pendule comme sur une balançoire, la force de Coriolis disparaît (voir l'animation B): l’observateur est dans un système de référence en "rotation libre" (une géodésique "pour les rotations") dans lequel, selon la théorie de la relativité générale, un espace-temps avec métrique non euclidienne et courbée est valide. </ref>.

Actuellement, il n’existe pas de preuves que le référentiel du pendule est lié réellement aux masses distantes par le principe de Mach, ou à l’espace temps. Il existe pourtant une expérience qui permettrait d’apporter des éléments de preuve : la vérification de l’effet Lense-Thirring sur le pendule<ref name="WT"/>. Cet effet prévoit que l’espace-temps est (très faiblement) entraîné par la rotation de la Terre, et que celle-ci imprime donc un faible mouvement de rotation à l’espace temps. Si le pendule est lié à l’espace-temps, comme le prévoit la relativité générale, on devrait observer une dérive du pendule par rapport aux étoiles de l’ordre de grandeur de l’effet Lense-Thirring, et dépendante de la latitude (contrairement à l'effet prédit par Mach, donc une correction de la trajectoire telle qu'elle est calculée en utilisant une métrique euclidienne plate comme fait, par exemple, dans l'équation ci-dessus). Cet effet n’est pas encore mesurable sur un pendule de Foucault par les technologies actuelles, parce que l'accélération de Coriolis <math>-2 \Omega (\vec{k}\wedge\vec{v})</math> est trop faible avec les vitesses <math>\vec{v}</math> des pendules par rapport à la Terre (sont nécessaires des satellites).

Les auteurs restent donc encore partagés sur la définition du référentiel lié au pendule. Certains comme Max Born définissent le référentiel par les masses distantes<ref>Modèle:Ouvrage</ref>, d’autres directement par l’espace-temps (Brian Greene ou Modèle:Lien).

Effets parasites

La mise en évidence de la rotation terrestre par le pendule de Foucault est une expérience très délicate. Le plan d'oscillation du pendule tourne de quelques degrés par heure (maximum, 15° aux pôles). Plusieurs phénomènes risquent de masquer ce que l'on veut mettre en évidence.

  • L'amortissement du pendule par le frottement dans l'air : il est proportionnel à la section du pendule, à son volume, et inversement proportionnel à son poids. On choisira donc un objet dense et lourd. Il faut une sphéricité parfaite, un cylindre est parfois plus approprié pour de petites amplitudes.
  • L'asymétrie du pendule. Celui-ci doit être parfaitement symétrique pour ne pas dévier. Il ne doit pas non plus pivoter sur lui-même : l'effet Magnus le dévierait de son plan d'oscillation (cependant, il tournera légèrement sur lui-même en raison de sa précession !). Il faut aussi veiller au point d'attache.

Le pendule doit être lancé sans composante de vitesse perpendiculaire au plan d'oscillation. Comme il s'agit d'un pendule sphérique, on doit effectuer la correction d'erreur systématique : Victor Puiseux a montré que si le pendule effectuait une ellipse, celle-ci entraînait un effet de précession proportionnelle à son aire et inversement proportionnelle au carré de la longueur du pendule.<math>\omega_{\text{Puiseux}} = {{3 \over 8}.{{a.b} \over {L^2}}.\omega_{\text{pendule}}}</math>. Il faut utiliser un pendule long et le lancer en le lâchant sans vitesse initiale par rapport au laboratoire ; sa trajectoire sera donc légèrement elliptique, mais toute la manipulation sera alors reproductible et l'on pourra corriger les erreurs systématiques.

L'astuce de l'anneau de Charron est peu connue (cf Bulletin de la SAF de Modèle:Date-) mais pourtant très efficace : on entretient le mouvement du pendule par un électroaimant très pointu et le cylindre est lui-même muni d'une pointe qui vient quasiment en contact de celle de l'électroaimant. Celui-ci est alimenté par un courant continu basse tension haché de la façon suivante : l'anneau de Charron (C) est placé à quelques décimètres du point d'oscillation O (pour une longueur de Modèle:Unité environ). Quand le fil de suspension métallique touche l'anneau très bien centré, le courant passe, il y a force électromagnétique attractive, donc retard vers la montée mais avance sur la descente. Puis aucune force lorsque le contact est perdu. Puis la symétrie pour l'autre côté. L'astuce consiste à ce que la bobine engendre un retard du courant : il y a donc bien gain global d'énergie. L'amplitude des oscillations (2 degrés environ) est imposée par le bilan énergétique. L'énergie perdue pendant une oscillation, qui croit avec l'amplitude, est exactement compensée par l'énergie fournie par l'électroaimant. Certes la période du pendule est composée de deux mouvements, l'un autour de O, et l'autre autour de (C) (de rayon très petit, Modèle:Unité environ). On peut le vérifier par la mesure de T (en effectuant évidemment toutes les corrections qui s'imposent, en particulier fil d'acier maintenu en O par un mandrin cylindrique). L'originalité du système n'est pas qu'il entretienne le pendule, mais que le frottement solide du fil sur l'anneau (C) pendant une partie du mouvement, loin de perturber la précession, est au contraire un très subtil moyen pour supprimer l'influence des conditions initiales de lancement qui sont si critiques. Celui du Palais de la découverte fonctionnait sur ce principe.

Quelques pendules de Foucault dans le monde

Modèle:Pays

  • On peut voir un pendule de Foucault au Deutsches Museum (jusque 2016), ainsi qu'à l'Institut de géophysique de Munich (voir un des liens externes pour une vue en direct sur ce pendule).
  • Le département de physique de l'Université de Heidelberg a un pendule de Foucault, filmé en direct par une caméra en ligne.

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Faisant usage du matériel utilisé par le professeur J. F. Cox et M. J. Brouet, au Palais de Justice de Bruxelles (voir la Belgique), l'expérience a été reproduite à Usumbura (Bujumbura maintenant) situé à Modèle:Angle de latitude sud en 1956 par Georges Serrure, recteur de la préuniversitaire d'Usumbura.

Le déplacement de la direction du plan d'oscillation du pendule était très lent; un tour complet s'effectua en 17 jours environ.

L'expérience a été effectuée dans la cage d'escalier de la Brasserie du Ruanda-Urundi (maintenant Burundi)<ref> Ciel et Terre, 1956, vol. 72-73.</ref>.

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Modèle:Nobr

Fichier:Foucault pendulum in the Franklin Institute.jpg
Pendule de Foucault du Franklin Institute de Philadelphie.
Fichier:UN Pendule de Foucault.jpg
Pendule de Foucault du Siège des Nations unies à New York
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Fichier:Musée du temps Besançon 16.jpg
Pendule de Foucault du Musée du Temps de Besançon.

Le pendule que Foucault a installé au Panthéon de Paris en 1851 mesurait Modèle:Unité et portait une masse (laiton/plomb) de Modèle:Unité. Foucault avait fait réaliser le matériel par l'ingénieur mécanicien Paul-Gustave Froment<ref>Modèle:Lien web.</ref>. Une fois lancé, ce pendule oscillait pendant Modèle:Heure. La période (aller-retour) était de Modèle:Unité ; le pendule déviait de Modèle:Nobr. La sphère de ce pendule est réutilisée dans le pendule de Foucault installé au Musée des arts et métiers de Paris<ref>W. Tobin, J. Lequeux, T. Lalande, Les pendules de Foucault, La revue du Musée des arts et métiers, 48, 63-69 (2007).</ref>. Il a été réinstallé sous la coupole en 1995, constituant une attraction très appréciée des visiteurs. Démonté pendant les travaux de restauration du Panthéon, il a été remis en mouvement, après restauration, par la Société Bodet, le Modèle:Date-<ref>Modèle:Lien web.</ref>.

Un accident a provoqué la chute du pendule original au Musée des arts et métiers le Modèle:Date-. La sphère de Modèle:Unité, cabossée, devenue irrécupérable a été conservée dans les réserves du musée en Seine-Saint-Denis avant de rejoindre le musée pour être exposée en vitrine. Une copie a été installée à la place<ref>Modèle:Lien web</ref>.

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Fichier:Foucault pendulum in Békéscsaba.ogv
Pendule de Foucault à Békéscsaba.

Il existe actuellement plus de 30 pendules de Foucault en Hongrie. Le premier pendule de ce type a été fabriqué en 1880 par Adolf Kunc à Szombathely<ref>http://real-eod.mtak.hu/1406/1/Magyar_orvosok_1880_tartalommal.pdf {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}}, pages 76–79. </ref>.

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Modèle:Japon
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Le premier pendule de Foucault a été installé en 2017 dans la cage d'escalier du groupe scolaire SZM1 de Vaduz, intégré dans une œuvre d'art de Ferdinand Gehr<ref>[1]</ref>.

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Un pendule se trouve dans le clocher de l'église Saint Jean (université) de Vilnius.

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Un pendule se trouvait dans le bâtiment des sciences de la Faculté de droit, d'économie et de finance de l'université du Luxembourg au Grand-duché de Luxembourg. Celui-ci est actuellement démonté.

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  • Un pendule de Foucault est installé au Musée des Sciences Copernic (Centrum Nauki Kopernik) à Varsovie
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  • Un pendule de Foucault est installé dans la rotonde du Jardin des Fleurs de la ville de Kroměříž.
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  • Un énorme et impressionnant pendule de Foucault a été installé de 1931 à 1986 dans la Cathédrale Saint-Isaac de Saint-Pétersbourg.


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  • Un pendule de foucault est présent dans une cage d'escalier du bâtiment de physique de l'école de Chalmers, à Goteborg.
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Modèles de pendule de Foucault

Fichier:Model of Foucault's pendulum 1.ogv
Modèle pendule de Foucault 1.
Fichier:Model of Foucault's pendulum 2.ogv
Modèle pendule de Foucault 2.
Fichier:Model of Foucault's pendulum 3.ogv
Modèle pendule de Foucault 3.

Notes et références

Modèle:Références

Annexes

Modèle:Autres projets

Bibliographie

Textes historiques

  • Foucault, Démonstration physique du mouvement de rotation de la Terre au moyen du pendule, Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1851), Paris, 32, 135-138.
  • Binet J., Note sur le mouvement du pendule simple en ayant égard à l'influence de la rotation diurne de la Terre, Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1851), Paris, 32, 157-159, 160, 197-205.
  • Poinsot L., Remarques sur l'ingénieuse expérience imaginée par M. Léon Foucault pour rendre sensible le mouvement de rotation de la Terre, Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1851), Paris, 32, 206-207.
  • Antinori, Anciennes observations faites par les membres de l'académie del Cimento sur la marche du pendule, Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1851), Paris, 32, 635-636.
  • Poncelet, Nouvel examen de la question relative aux oscillations tournantes du pendule à libre suspension, et ayant égard à l'influence de la rotation de la Terre, Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1860), Paris, 51, 467-476, 511-524.
  • Serret J.-A., Le pendule de Léon Foucault, Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1872), Paris, 74, 269-276.
  • Gilbert Ph., Les preuves mécaniques de la rotation de la Terre, Bulletin des Sciences Mathématiques, rédigé par M. Darboux. Paris. 6, (1882), 205-223.
  • «Le pendule de Foucault ; Mémoire de 1851 et autres textes» ; Éditions Nielrow ; Dijon 2019 ; Modèle:ISBN

Articles connexes

Liens externes

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