Problèmes de Hilbert

Lors du deuxième congrès international des mathématiciens, tenu à Paris en août 1900, David Hilbert entendait rivaliser avec le maître des mathématiques françaises, Henri Poincaré<ref group="H">Lors du premier congrès international des mathématiciens qui s'était tenu à Zurich en 1897, Henri Poincaré avait été la vedette avec sa conférence « Sur les rapports de l'analyse pure et de la physique mathématique ». Ce succès l'avait hissé à la présidence du comité d'organisation. Réf. Carlos M. Madrid Casado et Anne Postel (Trad.) À la recherche des axiomes universels : Hilbert. P.50. </ref>, et prouver qu'il était de la même étoffe<ref>Modèle:Harvsp</ref>. Il présenta une liste de problèmes qui tenaient jusqu'alors les mathématiciens en échec. Ces problèmes devaient, selon Hilbert, marquer le cours des [[Histoire des mathématiques#XXe.C2.A0siècle|mathématiques du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle]], et l'on peut dire aujourd'hui que cela a été grandement le cas. Publiée après la tenue du congrès, la liste définitive comprenait 23 problèmes, aujourd'hui appelés les problèmes de Hilbert.

Les sections suivantes présentent brièvement chaque problème<ref>Modèle:Harvsp</ref>.

Les 23 problèmes de Hilbert

n°	Énoncé du problème	État d’avancement de la résolution du problème	Date de résolution
[[Hypothèse du continu|Modèle:1er]]	Tout sous-ensemble infini des réels peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels ou avec l'ensemble des réels lui-même.	Modèle:Partieltab	Modèle:Partieltab
2e	Peut-on prouver la cohérence de l'arithmétique ? En d'autres termes, peut-on démontrer que les axiomes de l'arithmétique ne sont pas contradictoires ?	Modèle:Partieltab	Modèle:Partieltab
[[Troisième problème de Hilbert|Modèle:3e]]	Étant donnés deux polyèdres d'égal volume, peut-on découper le premier polyèdre en des polyèdres et les rassembler pour former le second polyèdre ?	Modèle:Yes	Modèle:Yes
[[#Quatrième problème|Modèle:4e]]	Définir toutes les géométries dont les géodésiques sont les droites.	Modèle:Dunno
[[Cinquième problème de Hilbert|Modèle:5e]]	Démontrer que les groupes de Lie sont nécessairement différentiables.	Modèle:Partieltab	Modèle:Partieltab
[[#Sixième problème|Modèle:6e]]	Axiomatisation, fondée sur le modèle mathématique, de la physique.	Modèle:Nontab
7e	Démontrer la transcendance des nombres ab, avec a algébrique différent de 0 et 1, et b algébrique irrationnel.	Modèle:Ouitab	Modèle:Ouitab
8e	Démontrer trois conjectures : — l'hypothèse de Riemann ; — la conjecture de Goldbach ; — la conjecture des nombres premiers jumeaux.	Modèle:Nontab
9e	Établir une loi de réciprocité dans les corps de nombres.	Modèle:Partieltab
10e	Trouver un algorithme déterminant si une équation diophantienne a des solutions.	Modèle:Ouitab	Modèle:Ouitab
11e	Classer les formes quadratiques à coefficients dans les corps de nombres.	Modèle:Partieltab par le principe local-global de Helmut Hasse et Carl Siegel<ref name="CMMC">Modèle:Harvsp</ref>.	Modèle:Partieltab
12e	Prolonger le théorème de Kronecker-Weber à tous les corps de nombres.	Modèle:Nontab
13e	Montrer l'impossibilité de résoudre les équations du septième degré au moyen de fonctions continues de seulement deux variables.	Modèle:Ouitab	Modèle:Ouitab
14e	Prouver le caractère fini de certains systèmes complets des fonctions.	Modèle:Ouitab	Modèle:Ouitab
15e	Mettre en place les bases du calcul énumératif de Schubert.	Modèle:Ouitab<ref name="CMMC"/>	Modèle:Ouitab
16e	Décrire les positions relatives des branches de courbes algébriques réelles et des cycles limites d'un champ de vecteurs à deux dimensions.	Modèle:Nontab
17e	Montrer qu'une fonction rationnelle positive peut s'écrire sous la forme de somme de carrés de fonctions rationnelles.	Modèle:Ouitab	Modèle:Ouitab
18e	(a) Existe-t-il un polyèdre acceptant seulement un pavage non-isoédrique en trois dimensions ? (b) Quel est l'empilement compact de sphères le plus dense ?	Modèle:Ouitab	Modèle:Ouitab
[[#Dix-neuvième problème|Modèle:19e]]	Prouver que le calcul des variations est toujours nécessairement analytique.	Modèle:Ouitab	Modèle:Ouitab
[[#Vingtième problème|Modèle:20e]]	Tous les problèmes du calcul des variations avec des conditions aux limites appropriées ont-ils des solutions ?	Modèle:Ouitab	Modèle:Ouitab
21e	Prouver que toute représentation complexe de dimension finie peut s'obtenir par action de monodromie sur une équation différentielle de Fuchs.	Modèle:Ouitab<ref name="CMMC"/>.	Modèle:Ouitab
22e	Uniformiser des courbes analytiques au moyen de Modèle:Lien.	Modèle:Yes	Modèle:Ouitab
23e	Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations.	Modèle:Nontab

Description détaillée

Premier problème

Il s'agit de l'hypothèse du continu de Cantor, notée HC. Ce résultat aurait eu pour conséquence que le cardinal infini qui suit immédiatement le dénombrable, est celui du continu.

Kurt Gödel a montré en 1938 que l'on ne pouvait pas démontrer la négation de HC dans la théorie des ensembles ZFC — plus précisément : que si ZF est cohérente alors ZFC+HC aussi — et Paul Cohen, en 1963, que l'on ne pouvait pas non plus démontrer HC (dans cette même théorie) : on dit que cette conjecture est indécidable dans la théorie ZFC (ou indépendante de celle-ci). Ce qui amène à des théories des ensembles avec ou sans cette hypothèse.

Comme on considère que la théorie ZFC permet largement de formaliser le développement des mathématiques jusqu'à aujourd'hui, la question peut paraître réglée. Cependant, l'existence d'axiomes supplémentaires « naturels » qui s'ajouteraient à la théorie ZFC et pourraient décider l'hypothèse du continu reste un domaine de recherche<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Dans son premier problème, Hilbert rappelait une autre conjecture de Cantor dont il espérait — à double tort — qu'elle ait une solution effective et qu'elle aide à résoudre la précédente : Modèle:Énoncé En effet, cet énoncé est indécidable dans ZF<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> mais — d'après le théorème de Zermelo — démontrable dans ZFC.

Deuxième problème

Gödel montra en 1931, via son théorème d'incomplétude, que cela ne pouvait être démontré sans sortir de l'arithmétique. Gentzen montra en 1936 que la cohérence de l'arithmétique dérive du fait que le nombre transfini ε₀ est défini par une récurrence bien fondée.

Troisième problème

Max Dehn, élève de Hilbert, montra que non, en 1902, en démontrant qu'il était impossible de diviser un cube et un tétraèdre régulier de même volume en un nombre fini de polyèdres deux à deux identiques. Malgré tout, le paradoxe de Banach-Tarski constitue un résultat positif pour cette question si l'on n'exige pas que les morceaux intermédiaires soient des polyèdres et surtout si l'on suppose l'axiome du choix.

Quatrième problème

La géométrie différentielle a permis de répondre en partie à ce problème, bien que l'on ne puisse pas à proprement parler de réponse ferme.

Cinquième problème

Le théorème de Gleason-Montgomery-Modèle:Lien en 1953 y répond par l'affirmative.

Sixième problème

Du fait de l'apparition de la théorie de la relativité et de la mécanique quantique, le problème fut vite obsolète. Malgré tout, la physique théorique et les mathématiques ne cessent de se rapprocher. En axiomatisant la théorie des probabilités, Kolmogorov a résolu en partie ce problème.

Septième problème

Les travaux de Gelfond et de Schneider ont permis de résoudre ce problème (voir Théorème de Gelfond-Schneider), généralisant ainsi le résultat que la constante de Gelfond-Schneider, 2^{Modèle:Racine}, est transcendante. Ce théorème a été généralisé par Baker (voir Théorème de Baker).

Huitième problème

Il s'agit en réalité de quatre problèmes de théorie des nombres, dont les trois plus célèbres sont :

Malgré les progrès faits notamment par Deligne (hypothèse de Riemann) qui démontra les conjectures de Weil, et reçut pour cela la médaille Fields en 1978, par Ramaré (conjecture de Goldbach), qui a établi en 1995 que chaque entier est somme de sept nombres premiers au plus, et par Chen Jingrun (premiers jumeaux), qui a démontré l'existence d'une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit le produit d'au plus deux facteurs premiers, on est encore loin d'avoir résolu ces problèmes, qui s'annoncent comme ceux du Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle.

Neuvième problème

Une réponse à ce problème est apportée par la loi de réciprocité d'Artin, démontrée par Emil Artin en 1927. Ce théorème enrichit la connaissance de la théorie des corps de classes, dont le développement fut facilité par l'introduction des Modèle:Lien par Chevalley en 1936.

Dixième problème

Il fallut attendre les travaux de Church et Turing en 1930 pour définir rigoureusement la notion d'algorithme. En 1970, Yuri Matijasevic, établissant une équivalence entre les ensembles récursivement énumérables et les ensembles diophantiens, a établi qu'un tel algorithme ne pouvait pas exister.

Onzième problème

Le théorème de Hasse-Minkowski résout le problème sur ℚ, et Siegel le résolut sur certains anneaux d'entiers.

Treizième problème

Vladimir Arnold a réfuté cette conjecture en 1957, d'après les travaux de Kolmogorov, en montrant, plus généralement, que toute fonction continue d'un nombre fini de variables s'exprime par composition à partir de fonctions continues de deux variables.

En revanche, la question de la résolubilité de l'équation du septième degré par des fonctions analytiques de deux variables est encore ouverte.

Quatorzième problème

Le problème est le suivant : on considère un corps k et un sous-corps K de k(X₁, … , X_n) ; on pose R = k[X₁, … , X_n] ; l'anneau K∩R est-il une k-algèbre de type fini ? La réponse est positive pour n = 1 ou 2, comme l'a montré Oscar Zariski en 1954 (qui donna l'interprétation géométrique suivante : il existe une variété projective X de corps des fonctions K et un diviseur effectif D sur X tel que K∩R soit l'ensemble des fonctions de K n'ayant de pôles que sur R). La recherche de conditions suffisantes pour la validité du résultat de Hilbert a été source d'idées très fécondes en géométrie.

Nagata donna en 1959 un contre-exemple réfutant la conjecture.

Quinzième problème

Il s'agit là de rendre rigoureux certains calculs sur les objets « en position générale » en théorie de l'intersection, et en particulier le « principe de conservation des nombres ». Ce problème a donné naissance aux théories de la multiplicité de Samuel et Grothendieck.

Résolu par van der Waerden en 1930<ref name="CMMC"/>.

Seizième problème

Ce problème comporte deux parties. La première concerne le nombre de branches réelles (ovales) d'une courbe algébrique, et leur disposition ; de nombreux résultats modernes (Petrovskii, Thom, Arnold) apportent des informations à leur sujet.

La seconde partie du problème pose la question du nombre maximal et de la position mutuelle des cycles limites de Poincaré (orbites périodiques isolées) pour une équation différentielle polynomiale plane de degré donné ; cette question est encore ouverte.

Dix-septième problème

Résolu par Emil Artin en 1927. Une démonstration par la théorie des modèles a été trouvée par le logicien Abraham Robinson.

Dix-huitième problème

Le problème comporte trois parties :

• premièrement, montrer qu'il n'existe à isomorphisme près qu'un nombre fini de groupes discrets d'isométries de ℝⁿ admettant un domaine fondamental compact ; cette question fut résolue par Ludwig Bieberbach en 1910 ;
• deuxièmement, la question de l'existence de polyèdres qui ne sont pas des domaines fondamentaux, mais qui peuvent cependant paver l'espace ; de tels polyèdres furent construits par Modèle:Lien et Heesch dans les années 1930 ;
• troisièmement, ce problème comporte aussi la fameuse conjecture de Kepler sur l'empilement des sphères dans l'espace, résolue en 1998 par Thomas Hales (confirmé par le projet Flyspeck, un assistant de preuve informatique).

Dix-neuvième problème

Résolu par Sergueï Bernstein, Ennio De Giorgi et John Forbes Nash<ref name="CMMC"/> <ref>Modèle:Ouvrage</ref>.

Vingt-et-unième problème

Résolu par Helmut Rörl en 1957.

Vingt-deuxième problème

Résolu par Paul Koebe et Henri Poincaré en 1907.

Le vingt-quatrième problème

En 2000, l'historien des mathématiques Modèle:Lien a découvert dans les notes de David Hilbert que Hilbert avait initialement prévu d'ajouter un autre problème, le vingt-quatrième, qu'il avait fini par écarter de sa liste. Il s'agissait de déterminer les critères concernant la simplicité Modèle:Incise de certaines démonstrations. Le mathématicien cherchait à développer une théorie générale sur les méthodes de démonstration en mathématiques. Paradoxalement, quelques années plus tard, il fonda lui-même une Théorie de la démonstration<ref>Modèle:Harvsp</ref>.

Notes et références

Notes

<references group="H" />

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage

Articles connexes

• Problèmes du prix du millénaire
• Problèmes de Smale
• Problèmes de Landau
• Problèmes non résolus en mathématiques

Liens externes

• Sur les problèmes futurs des mathématiques : traduction en français de la conférence de Hilbert, par Léonce Laugel
• Un billet d'Étienne Ghys sur l'introduction de la conférence, sur Images des Maths
• Jean-Michel Kantor, « Les problèmes de Hilbert et leur devenir », Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques, Modèle:2e série, tome 3, 1993, p. 95-112