Transformation de Fourier

Fichier:Fourier2.jpg

Portrait de Joseph Fourier.

En mathématiques, plus précisément en analyse, la transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques, du développement en série de Fourier des fonctions périodiques. La transformation de Fourier associe à toute fonction intégrable définie sur ℝ et à valeurs réelles ou complexes, une autre fonction sur ℝ appelée transformée de Fourier dont la variable indépendante peut s'interpréter en physique comme la fréquence ou la pulsation.

La transformée de Fourier représente une fonction par la densité spectrale dont elle provient, en tant que moyenne de fonctions trigonométriques de toutes fréquences. La théorie de la mesure ainsi que la théorie des distributions permettent de définir rigoureusement la transformée de Fourier dans toute sa généralité, elle joue un rôle fondamental dans l'analyse harmonique.

Lorsqu'une fonction représente un phénomène physique, comme l'état du champ électromagnétique ou du champ acoustique en un point, on l'appelle signal et sa transformée de Fourier s'appelle son spectre.

Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables

Définition

La transformation de Fourier <math>\mathcal F</math> est une opération qui transforme une fonction intégrable sur ℝ en une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel de cette dernière. Si Modèle:Mvar est une fonction intégrable sur ℝ, sa transformée de Fourier est la fonction <math>\mathcal F(f)=\hat f</math> donnée par la formule<ref>Modèle:Chapitre</ref> :

<math>\mathcal F(f):\xi\mapsto \hat f(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, \mathrm e^{-{\rm i}\xi x}\,\mathrm dx</math>.

Conventions alternatives

Il est possible de choisir une définition alternative pour la transformation de Fourier. Ce choix est une affaire de convention dont les conséquences ne se manifestent (en général) que par des facteurs multiplicatifs constants. Par exemple, certains scientifiquesModèle:Lesquels utilisent ainsiModèle:Référence nécessaire :

<math>\mathcal F(f):\nu \mapsto \hat f(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm e^{-{\rm i}2\pi\nu t}\,\mathrm dt</math>

avec Modèle:Mvar en secondes et Modèle:Mvar la fréquence (en hertz).

Certains utilisent (pour des raisons de symétrie avec la transformation de Fourier inverse) la transformation suivante<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :

<math>\mathcal F(f):\omega\mapsto \hat f(\omega) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm e^{-{\rm i}\omega t}\,\mathrm dt</math>

avec Modèle:Mvar en secondes et Modèle:Mvar la pulsation (en radians par seconde).

Cette définition n'est cependant pas adaptée au traitement des produits de convolution : à cause du facteur <math>\frac1{\sqrt{2\pi}}</math>, on a <math>\mathcal F(f*g)\ne\mathcal F(f)\cdot\mathcal F(g)</math>, à moins d'introduire un tel facteur dans la définition du produit de convolution.

L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions intégrables Modèle:Mvar d'une variable réelle Modèle:Mvar. L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions d'une variable réelle Modèle:Mvar. Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en traitement du signal, on notera volontiers Modèle:Mvar à la place de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar ou Modèle:Math à la place de Modèle:Mvar qui seront les variables respectives de temps et de pulsation ou de fréquence. On dira alors que Modèle:Mvar est dans le domaine temporel, et que <math>\hat f</math> est dans le domaine fréquentiel.

En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnent une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier » naturelle. Pour ces applications, les physiciens définissent en général la transformation directe avec un facteur <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> et la transformation de Fourier inverse avec le même préfacteur.

La notation <math>\mathcal F(f)</math> peut aussi être remplacée par Modèle:Math ou Modèle:Math. Dans cet article, on utilisera exclusivement la première notation.

Il est également d'usage dans certaines communautés scientifiques de noter Modèle:Math pour la fonction de départ et Modèle:Math pour sa transformée, faisant ainsi correspondre à Modèle:Math les variables duales Modèle:Math. Cette notation est conforme à l'interprétation physique inspirée par la mécanique quantique : dualité entre position et quantité de mouvement. Cette notation n'est pas retenue ici.

Extension de la transformation de Fourier

Le cadre le plus naturel pour définir les transformations de Fourier est celui des fonctions intégrables. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations, transformation de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à PlancherelModèle:Référence nécessaire l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des distributions de Schwartz, et plus particulièrement des distributions tempérées permit de trouver un cadre parfaitement adapté.

On peut généraliser la définition de la transformation de Fourier à plusieurs variables, et même sur d'autres groupes que le groupe additif ℝⁿ. Ainsi, on peut la définir sur le groupe additif ℝ/ℤ, c'est-à-dire sur les fonctions de période 1 — on retrouve ainsi les séries de Fourier —, et plus généralement sur des groupes localement compacts, pas nécessairement commutatifs, et en particulier sur des groupes finis. Ces définitions font intervenir les groupes duaux, ainsi que la mesure de Haar.

Propriétés de la transformation de Fourier

	Fonction	Transformée de Fourier
Linéarité	<math>a \cdot g_1(x) + b \cdot g_2(x)</math>	<math>a \cdot \hat g_1(\xi) + b \cdot \hat g_2(\xi)</math>
Contraction du domaine	<math>f(a \cdot x) \ </math>	a|} \cdot \hat f(\xi/a)</math>
Translation temporelle	<math>g(x+x_0)\ </math>	<math>\hat g(\xi) \cdot \mathrm e^{\mathrm i\xi x_0}</math>
Modulation dans le domaine temporel	<math>g(x) \cdot \mathrm e^{\mathrm ix \xi_0}</math>	<math>\hat g(\xi-\xi_0)</math>
Produit de convolution	<math>(f * g)(x)</math>	<math>\hat f(\xi) \cdot \hat g(\xi)</math>
Produit	<math>(f \cdot g)(x) </math>	<math>\frac 1{2\pi}(\hat f * \hat g)(\xi)</math>
Dérivation dans le domaine temporel	<math>f'(x)</math> (voir conditions ci-dessous)	<math>{\rm i}\xi \cdot \hat f(\xi)</math>
Dérivation dans le domaine fréquentiel	<math>x \cdot f(x)</math>	<math>\mathrm i \hat f'(\xi)</math>
Symétrie	réelle et paire	réelle et paire
	réelle	paire (à symétrie hermitienne)
	réelle et impaire	imaginaire pure et impaire
	imaginaire pure et paire	imaginaire pure et paire
	imaginaire pure et impaire	réelle et impaire
Forme	gaussienne	gaussienne

• La contraction dans un domaine (temporel, spatial ou fréquentiel) implique une dilatation dans l'autre. Un exemple concret de ce phénomène peut être observé par exemple sur un tourne-disque. La lecture d'un 33 tours à 45 tours par minute implique une augmentation de la fréquence du signal audio (Modèle:Math), on contracte le signal audio dans le domaine temporel ce qui le dilate dans le domaine fréquentiel.
• Si la fonction Modèle:Mvar est à support borné (Modèle:C.-à-d. si <math>\exists x_0 \in \R, \forall |x| > x_0, f(x) = 0 </math>) alors <math>\hat f</math> est à support infini. Inversement, si le support spectral de la fonction <math>\hat f</math> est borné alors Modèle:Mvar est à support non borné.
• Si Modèle:Mvar est une fonction non nulle sur un intervalle borné alors <math>\hat f</math> est une fonction non nulle sur <math>\Complex</math> et inversement, si <math>\hat f</math> est non nulle sur un intervalle borné alors Modèle:Mvar est une fonction non nulle sur <math>\Complex</math>.
• La transformée de Fourier de Modèle:Mvar est une fonction continue, de limite nulle à l'infini (théorème de Riemann-Lebesgue), notamment bornée par

<math>\|\hat f\|_\infty\leq \|f\|_1</math>.

• Par changement de variable on trouve des formules intéressantes lorsqu'on effectue une translation, dilatation du graphe de Modèle:Mvar.
• Supposons que la fonction <math>g:x\mapsto -\mathrm{i}xf(x)</math> soit intégrable ; alors on peut dériver la formule de définition sous le signe d'intégration. On constate alors que la dérivée <math>\hat f'</math> est la transformée de Fourier de Modèle:Mvar.
• Si Modèle:Mvar est localement absolument continue (Modèle:C.-à-d. dérivable presque partout et égale à « l'intégrale de sa dérivée ») et si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont intégrables, alors<ref>Modèle:Rudin, p. 174 de l'édition de 1975-77.</ref> la transformée de Fourier de la dérivée de Modèle:Mvar est <math>\widehat{f'}(\xi)=\mathrm i\xi\hat f(\xi)</math>.

On peut résumer les deux dernières propriétés : notons Modèle:Mvar l'opération

<math>Df=\frac1{\mathrm i} f'</math>

et Modèle:Mvar la multiplication par l'argument :

<math>(Mf)(x)=xf(x), \quad (M\hat f)(\xi)=\xi \hat f(\xi)</math>.

Alors, si Modèle:Mvar satisfait des conditions fonctionnelles convenables, <math>\widehat{Df}= + M\hat f</math> et <math>\widehat{Mf}= - D\hat f</math>.

On s'affranchira de ces conditions fonctionnelles en élargissant la classe des objets sur lesquels opère la transformation de Fourier. C'est une des motivations de la définition des distributions.

Transformation de Fourier inverse

Si la transformée de Fourier de Modèle:Mvar, notée <math>\hat f</math>, est elle-même une fonction intégrable, la formule dite de transformation de Fourier inverse, opération notée <math>\mathcal F^{-1}</math>, et appliquée à <math>\hat f</math>, permet (sous conditions appropriées) de retrouver Modèle:Mvar à partir des données fréquentielles :

<math> f(x)=\mathcal F^{-1} (\hat f)(x)={1 \over 2\pi}\, \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\xi)\,\mathrm e^{+{\rm i}\xi x}\, \mathrm d\xi \qquad\Leftrightarrow\qquad \hat f(\xi)\ = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, \mathrm e^{-{\rm i}\xi x}\,\mathrm dx</math>.

Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le coefficient multiplicatif et le Modèle:Math devenu Modèle:Math.

Dans le cas des définitions alternatives, la transformation de Fourier inverse devient :

Définition en fréquence : <math>f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\nu)\, \mathrm e^{+{\rm i}2\pi\nu t}\, \mathrm{d}\nu\qquad\Leftrightarrow\qquad\hat f(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm e^{-{\rm i}2\pi\nu t}\,\mathrm dt</math>.

Définition en pulsation : <math>f(t) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\omega)\, \mathrm e^{+{\rm i}\omega t}\,\mathrm d\omega \quad \Leftrightarrow\quad \hat f(\omega)\ = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm e^{-{\rm i}\omega t}\,\mathrm dt</math>.

{{démonstration|titre=Preuve par la formule sommatoire de Poisson|contenu= Soit h une fonction complexe définie sur ℝ et deux fois continûment différentiable. On suppose que Modèle:Mvar vérifie l'estimation

<math>|h(x)|\le\frac C{1+x^2}</math>

et que les deux premières dérivées de Modèle:Mvar sont intégrables sur ℝ. Alors la transformée de Fourier de Modèle:Mvar vérifie une estimation analogue

<math>|\hat h(\xi)|\le\frac{C}{1+\xi^2}</math>.

Soit Modèle:Mvar un nombre réel qui, pour le moment, est simplement un paramètre, et notons :

<math> f(x)=h(x)\mathrm e^{-\mathrm iyx}</math>.

On vérifie que Modèle:Mvar a les mêmes propriétés fonctionnelles que Modèle:Mvar. Par conséquent, on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson à Modèle:Mvar, avec la période Modèle:Math :

<math>\sum_{n\in\Z} f(x+2\pi n)=\frac1{2\pi}\sum_{k\in\Z}\hat f(k)\mathrm e^{{\rm i}k x}</math>.

Mais le calcul de <math>\hat f(k)</math> donne :

<math>\hat f(k)=\int_\R h(x)\mathrm e^{-{\rm i}(y+k)x}\,\mathrm dx=\hat h(y+k)</math>.

On peut donc réécrire la formule sommatoire de Poisson en termes de Modèle:Mvar, et il vient :

<math>\sum_{n\in\Z}h(x+2\pi n)\mathrm e^{-{\rm i}(x+2\pi n)y}=\frac1{2\pi}\sum_{k\in\Z}\hat h(y+k)\mathrm e^{{\rm i}kx}</math>.

On multiplie les deux membres de cette identité par <math>\mathrm e^{\mathrm ixy}</math> :

<math>\sum_{n\in\Z}h(x+2\pi n)\mathrm e^{-2{\rm i}\pi ny}=\frac1{2\pi}\sum_{k\in\Z}\hat h(y+k)\mathrm e^{{\rm i}(k+y)x}</math>.

On remarque que les séries apparaissant de part et d'autre sont normalement convergentes pour la norme du maximum. On va donc pouvoir échanger la sommation et l'intégration par rapport à Modèle:Mvar sur l'intervalle Modèle:Math.

À gauche, l'intégration par rapport à Modèle:Mvar ne laisse subsister qu'un seul terme, celui correspondant à Modèle:Math. À droite, on intègre par rapport à Modèle:Mvar et l'on effectue dans chaque intégrale le changement de variable Modèle:Mvar. On obtient ainsi la formule

<math> h(x)=\frac1{2\pi}\int_\R \hat h(\xi) \mathrm e^{{\rm i}x\xi}\,\mathrm d\xi</math>.

On passe au cas général de la formule d'inversion de Fourier pour une fonction Modèle:Mvar intégrable ainsi que sa transformée de Fourier par une méthode de densité. On approche Modèle:Mvar par une suite de fonctions Modèle:Mvar vérifiant les hypothèses fonctionnelles de la présente démonstration. On doit bien sûr supposer que les Modèle:Mvar et leurs transformées de Fourier <math>\hat f_p</math> convergent vers leurs limites respectives Modèle:Mvar et <math> \hat f</math> en norme L¹(ℝ). On peut construire de telles approximations en tronquant Modèle:Mvar, c'est-à-dire en le remplaçant par 0 en dehors de l'intervalle Modèle:Math, et en le régularisant par convolution. Si Modèle:Mvar est une fonction deux fois continûment différentiable, d'intégrale 1, et à support borné, on pose Modèle:Math et l'on convole la fonction tronquée Modèle:Math par Modèle:Mvar. C'est une idée raisonnable d'utiliser ici le même paramètre Modèle:Mvar. }}

{{démonstration|titre=Preuve par l'analyse non standard|contenu= Soit Modèle:Mvar une fonction de classe [[Fonction C∞ à support compact|C^Modèle:Math à support compact]]. Par le principe de transfert, on peut se contenter d'étudier le cas d'une fonction standard. Dans ce cas, il existe un réel infiniment grand Modèle:Mvar tel que pour tout réel Modèle:Math, Modèle:Math. Introduisons une base hilbertienne de Modèle:Math donnée par :

<math>e_n:x\mapsto{\rm e}^{\mathrm in\pi x/T}</math>

(un calcul immédiat montre qu'elle est bien orthonormée, et le fait qu'elle soit totale se déduit de la densité des fonctions continues et de leur approximation uniforme par des polynômes trigonométriques). Par le lemme de Parseval, on est en mesure d'écrire :

<math>f=\sum_{n \in \Z}c_ne_n</math> où <math>c_n=\frac1{2T} \int_{-T}^Tf(x){\rm e}^{-\mathrm{i}n\pi x/T}{\rm d}x=\frac1{2 T}\widehat f\left(\frac{n\pi}T\right)</math>

Plus explicitement, pour x standard :

<math>f(x)=\frac1{2\pi}\sum_{n \in \Z}\widehat f\left(\frac{n\pi}T\right){\rm e}^{\mathrm{i}n\pi x/T} \frac{\pi}T=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \widehat f(w){\rm e}^{{\rm i}wx}{\rm d}w</math>.

La dernière égalité vient de ce que le membre de gauche est standard, que la somme de Riemann s'effectue sur une partition de longueur infiniment petite (Modèle:Math), et donc que le membre de droite est la partie standard du membre intermédiaire. L'égalité recherchée est donc vraie pour toutes les fonctions standard de classe C^Modèle:Math à support compact et tout Modèle:Mvar standard. Par le principe de transfert, elle est aussi vérifiée pour toutes les fonctions C^Modèle:Math à support compact et tout Modèle:Mvar, puis par densité des fonctions C^Modèle:Math à support compact dans l'espace des fonctions intégrables, pour toutes les fonctions intégrables dont la transformée est intégrable et pour presque tout Modèle:Mvar. }}

Extension à l'espace ℝⁿ

Notons Modèle:Math le produit scalaire canonique dans ℝⁿ :

<math>x\cdot \xi=\sum_{j=1}^n x_j\xi_j</math>.

Si Modèle:Mvar est une fonction intégrable sur ℝⁿ, sa transformée de Fourier est donnée par la formule :

<math>\hat f(\xi)=\int_{\R^n}f(x)~{\rm e}^{-{\rm i}x\cdot\xi}~\mathrm dx</math>.

Si A est une isométrie linéaire directe, <math>\widehat{f\circ A}=\hat f\circ A</math>. Il en résulte que la transformée de Fourier d'une fonction radiale est radiale. Modèle:Démonstration \right) \text{ et } \vec \tau =\left( {\begin{array}{*{20}{c}}Modèle:T 1\\Modèle:T 2\\\vdots\\Modèle:T n\end{array}} \right) \Rightarrow \vec \rho \cdot \vec \tau = \rho \tau \cos \theta=x_1t_1+x_2t_2+\dots+x_nt_n</math>

En passant des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires dans ℝ^Modèle:Mvar :

<math> \hat f(\vec \tau)=\int_{\R^n} g(\rho)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\vec \tau \cdot \vec\rho}~\mathrm d^n \vec \rho=\int_{\R^n} g(\rho)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\tau \rho \cos \theta }~\mathrm d^n \vec \rho </math>

Considérons la rotation <math> \mathcal{R} </math> telle que <math> \vec \tau'= \mathcal{R}(\vec \tau) \Rightarrow \hat f(\vec \tau')=\int_{\R^n} g(\rho)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\vec \tau' \cdot \vec\rho}~\mathrm d^n \vec \rho=\int_{\R^n} g(\rho)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\mathcal{R}(\vec \tau) \vec \rho }~\mathrm d^n \vec \rho </math>

On ne change pas la valeur de l'intégrale si on remplace <math> \vec \rho </math> par <math> \mathcal{R} (\vec \rho )</math> du fait que Modèle:Mvar est radiale.

<math>\Rightarrow \hat f(\vec \tau')=\int_{\R^n} g(\rho)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\mathcal{R}(\vec \tau) \mathcal{R}(\vec \rho )}~\mathrm d^n \mathcal{R}(\vec \rho) </math>

Comme <math>\mathcal{R}(\vec \tau) \cdot \mathcal{R}(\vec \rho )=\vec \tau \cdot \vec \rho=\tau \rho \cos\theta</math> et <math>\mathrm{d}^n \mathcal{R}(\vec \rho) =\mathrm{d}^n \vec \rho </math>

<math>\Rightarrow \hat f(\vec \tau')=\int_{\R^n} g(\rho)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\tau \rho \cos \theta }~\mathrm d^n \rho=\hat f(\vec \tau) </math>

La transformée de Fourier d'une fonction radiale est donc aussi une fonction radiale (qui ne dépend que de <math> \parallel \vec \tau \parallel </math>).

On rappelle la correspondance entre coordonnées sphériques et coordonnées polaires dans ℝⁿ, coordonnées aussi appelées « Coordonnées hypersphériques ».

<math> x_i=\rho \cos(\varphi_{n-i+1})\prod_{k=1}^{n-i} \sin (\varphi_k)</math>.

On montre par ailleurs que le jacobien de la transformation des coordonnées cartésiennes en coordonnées hypersphériques est : <math> J=\rho^{n-1}\prod_{i=1}^{n-2}\sin^{n-1-i}(\varphi_i)</math>

avec Modèle:Math et Modèle:Math.

Il en résulte :

<math> \hat f(\vec \tau)=\int_{\R^n} g(\rho)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\tau \rho \cos \theta }\rho^{n-1}\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\varphi_{n-1}\prod_{j=1}^{n-2}\sin^{n-1-j}(\varphi_j)\mathrm{d}\varphi_j </math>

Du fait de la symétrie radiale, on ne change rien de l'intégrale si on considère <math> \vec \tau </math> parallèle à l'axe Modèle:Math. Cela revient alors à avoir Modèle:Math (et indépendant des Modèle:Math)

<math> \Rightarrow \hat f(\vec \tau)=\int_0^{+\infty} g(\rho)\rho^{n-1}\mathrm{d}\rho \underbrace{\left (\int_0^\pi \sin^{n-2}(\theta)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\tau \rho \cos \theta }\mathrm{d}\theta \right)}_{<2>} \underbrace {\left( \prod_{j=2}^{n-2}\int_{\varphi_j=0}^\pi \sin^{n-1-j}(\varphi_j)\mathrm{d}\varphi_j \right )}_{<1>}\left (\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi_{n-1}\right) </math>

Calcul de <1>

Posons <math> I_j=\int_0^\pi \sin^{n-1-j}(\varphi_j)\mathrm{d}\varphi_j</math>

On reconnaît ici la fonction bêta <math> \Beta(p,q)=2\int_0^{\frac {\pi}2} \sin^{2p-1} (\alpha) \cos^{2q-1}(\alpha) \mathrm{d}\alpha = \frac {\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}</math> avec Modèle:Math la fonction gamma et Modèle:Mvar, Modèle:Mvar réels positifs.

<math>\Rightarrow I_j=\int_0^\pi \sin^{n-1-j}(\varphi_j)\mathrm{d}\varphi_j=\frac{\Gamma(\frac{n-j}2)\Gamma(\frac12)}{\Gamma(\frac{n-j+1}2)}\Rightarrow <1>= \prod_{j=2}^{n-2} \frac{\Gamma(\frac{n-j}{2})\Gamma(\frac12)}{\Gamma(\frac{n-j+1}2)}=\frac{\pi^{\frac{n-3}2}}{\Gamma(\frac{n-1}2)}</math> avec Modèle:Math; Modèle:Math

<math>\Rightarrow \hat f(\vec \tau)=2\frac{\pi^{\frac{n-1}2}}{\Gamma(\frac{n-1}2)}\int_0^{+\infty} g(\rho)\rho^{n-1} \mathrm{d}\rho \underbrace{\left (\int_0^\pi \sin^{n-2}(\theta)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\tau \rho \cos \theta }\mathrm{d}\theta \right)}_{<2>} </math>

On notera au passage

<math> 2\int_0^{\frac{\pi}2}\sin^{n-2}\alpha \mathrm{d}\alpha=\frac{\Gamma(\frac{n-1}2)\sqrt \pi}{\Gamma (\frac n2)} \Rightarrow \hat f(\vec \tau)=2\frac{\pi^{\frac n2}}{\Gamma(\frac n2)}\int_0^{+\infty} g(\rho)\rho^{n-1}\mathrm{d}\rho \frac{\left (\int_0^\pi \sin^{n-2}(\theta)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\tau \rho \cos \theta }\mathrm{d}\theta \right)}{\int_0^\pi\sin^{n-2}\alpha \mathrm{d}\alpha}</math>

Calcul de <2>

Considérons la fonction

<math> L_n(z)=\frac {\int_0^\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i}z \cos \theta}\sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}</math>

On notera Modèle:Math

On a alors

<math> \frac {\mathrm{d}L_n(z)}{\mathrm{d}z}= \frac {\int_0^\pi i\cos \theta \sin^{n-2}\theta \mathrm{e}^{\mathrm{i}z\cos \theta} \mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}</math>

En intégrant par parties l'intégrale en numérateur, on établit la relation :

<math>-\frac{\mathrm{d}L_n(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{z}{n-1}\frac {\int_0^\pi \sin^n\theta \mathrm{e}^{\mathrm{i}z\cos \theta} \mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}</math>

On notera alors : <math> \frac{\mathrm{d}L_n(0)}{\mathrm{d}z}=0 </math>.

En dérivant une seconde fois :

<math> \frac {d^2L_n(z)}{dz^2}= -\frac {\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \mathrm{e}^{\mathrm{i}z\cos \theta} \mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}+ \frac {\int_0^\pi \sin^n\theta \mathrm{e}^{\mathrm{i}z\cos \theta} \mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta} \Rightarrow \frac {d^2L_n(z)}{dz^2}+\frac{n-1}{z}\frac{dL_n(z)}{dz}+L_n(z)=0</math>.

On reconnaît ici une équation qui est proche de l'équation différentielle de Bessel. Pour faire disparaître le facteur Modèle:Math du deuxième terme, posons :

<math>L_n(z)=a_nz^{-m}J_m(z)</math>.

En reportant cette expression dans l'équation différentielle, on arrive à :

<math>\frac {\mathrm{d}^2J_m(z)}{\mathrm{d}z^2}+\left(\frac{n-1-2m}z\right)\frac {\mathrm{d}J_m(z)}{\mathrm{d}z}+\left (\frac{m(m-n+2)}{z^2}+1\right)J_m(z)=0</math>.

Il suffit alors de poser Modèle:Math pour arriver à l'équation différentielle de Bessel suivante :

<math>\frac {\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}z^2}J_{\frac{n-2}2}(z)+\frac1z\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}J_{\frac{n-2}2}(z)+\left (1-\left (\frac{n-2}{2z}\right)^2\right) J_{\frac{n-2}2}(z)=0</math>

Il s'agit bien d'une équation différentielle de Bessel dont la fonction de Bessel <math>J_{\frac{n-2}2}(z)</math> est solution. Il en résulte alors la relation suivante, par définition de la fonction de Bessel :

<math>J_{\frac{n-2}2}(z)=\left(\frac z2\right)^{\frac{n-2}2}\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{p!\Gamma(p+\frac n2)}\left(\frac z2\right)^{2p}=\frac{z^{\frac{n-2}2}}{a_n}L_n(z)\Rightarrow L_n(z)=a_n \left(\frac12\right)^{\frac{n-2}2} \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{p!\Gamma(p+\frac n2)}\left(\frac z2\right)^{2p}</math>

Avec

<math>L_n(0)=1 \Rightarrow a_n=2^{\frac{n-2}2}\Gamma\left(\frac n2\right)\Rightarrow L_n(z)=\Gamma\left(\frac n2\right)\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{p!\Gamma(p+\frac n2)}\left(\frac z2\right)^{2p}=\frac {\int_0^\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i}z \cos \theta}\sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}</math>

<math>\Rightarrow L_n(2\pi\rho\tau)=\Gamma\left(\frac n2\right)\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{p!\,\Gamma(p+\frac n2)}\left(\frac{2\pi\rho\tau}2\right)^{2p}=\frac {\int_0^\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi\rho\tau \cos \theta}\sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta}</math>

<math>\Rightarrow <2>=\int_0^\pi \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi \rho \tau \cos \theta} \sin^{n-2} \theta \,\mathrm{d}\theta=2^{\frac{n-2}2}\Gamma\left(\frac n2\right)(2\pi \rho \tau)^{-\frac{n-2}2}J_{\frac{n-2}2}(2\pi \rho \tau)\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta \,\mathrm{d}\theta </math>

En revenant à l'expression de la transformée de Fourier :

<math> \hat f(\vec \tau)=2\frac{\pi^{\frac n2}}{\Gamma(\frac n2)}\int_0^{+\infty} g(\rho)\rho^{n-1}\mathrm{d}\rho \frac{\left (\int_0^\pi \sin^{n-2}(\theta)~{\rm e}^{{\rm 2i\pi}\tau \rho \cos \theta }\mathrm{d}\theta \right)}{\int_0^\pi\sin^{n-2}\alpha \mathrm{d}\alpha}=2\pi (\tau)^{\frac{2-n}2}\int_0^{+\infty}g(\rho)(\rho)^{\frac n2}J_{\frac{n-2}2}(2\pi \rho \tau)\mathrm{d}\rho</math>.

}}

Si la transformée de Fourier de Modèle:Mvar est elle-même une fonction intégrable, on a alors la formule d'inversion :

<math>f(x)=\frac1{(2\pi)^n}\int_{\R^n}\hat f(\xi)~{\rm e}^{{\rm i}x\cdot\xi}~\mathrm{d}\xi</math>.

Par conséquent, la transformation de Fourier de Modèle:Math dans Modèle:Math est injective (mais pas surjective).

Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable

Extension de la transformation de Modèle:Math à Modèle:Math

Le théorème de Plancherel permet de donner un sens à la transformée de Fourier des fonctions de carré sommable sur ℝ.

On commence par un premier résultat préparatoire.

Une fois démontrée dans le lemme ci-dessus la formule de Plancherel pour une classe de fonctions suffisamment régulières, on étend par densité la transformation de Fourier à tout Modèle:Math.

On a ainsi le théorème de Plancherel :

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme intemporel de l'espace Modèle:Math, qui est une isométrie, à condition de faire un changement d'échelle si l'on utilise la notation en pulsation

<math>\|\hat f/\sqrt {2\pi}\|_2 = \|f\sqrt {2\pi}\|_2</math>.

En physique, on interprète le terme <math>|\hat f(\xi)/\sqrt {2\pi}|^2</math> figurant sous l'intégrale comme une densité spectrale de puissance.

La définition de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables. Sur l'intersection Modèle:Math des domaines de définition, on montre à l'aide du théorème de convergence dominée de Lebesgue que les deux définitions coïncident.

La transformation vue comme opérateur de Modèle:Math

Remarque : ce paragraphe utilise la définition fréquentielle de la transformée de Fourier, pour des raisons d'isométrie.

Nous venons de voir que la transformation de Fourier <math>\mathcal F</math> induit sur l'espace de Hilbert Modèle:Math un opérateur linéaire. Nous en récapitulons ici les propriétés :

• <math>\mathcal F</math> est un opérateur unitaire de Modèle:Math. Il s'agit en particulier d'une isométrie. On retrouve le premier fait, connu sous le nom de formule de Parseval, affirmant que pour toutes fonctions Modèle:Math,

Modèle:Retrait et en particulier le deuxième fait, connu sous le nom de théorème de Plancherel Modèle:Retrait

• son inverse (qui est aussi son adjoint) est donné par <math>\mathcal F^{-1} g = \mathcal F \check g</math> avec <math>\check g : x \mapsto g(-x)</math> ;
• en tant qu'automorphisme, <math>\mathcal F</math> est de période 4. Autrement dit <math>\mathcal F^4</math> = [[Application identité|Modèle:Math]] ;
• en tant qu'endomorphisme de Modèle:Math, <math>\mathcal F</math> a pour valeurs propres les quatre racines quatrièmes de l'unité : Modèle:Math et Modèle:Math. Une base hilbertienne de vecteurs propres est donnée par les fonctions d'Hermite-Gauss

Modèle:Retrait{\sqrt{n!}} \,{\rm e}^{-\pi x^2}H_n(2x\sqrt{\pi})</math>,}} où Modèle:Math sont les polynômes d'Hermite « probabilistes », qui s'écrivent Modèle:Retrait Avec ces notations, la formule suivante récapitule la situation {{Retrait|<math> \hat\phi_n (\nu) = (-{\rm i})^n {\phi}_n (\nu)</math>.}} On retrouve la gaussienne comme première fonction d'Hermite. Ces fonctions appartiennent à la classe de Schwartz <math>\mathcal S</math>.

Lien avec le produit de convolution

La transformation de Fourier a des propriétés très intéressantes liées au produit de convolution. On rappelle que (d'après l'inégalité de Young pour la convolution) :

• si <math>f,g\in{\rm L}^1(\R^N)</math>, alors <math> f*g \in{\rm L}^1(\R^N)</math> et <math>\|f*g\|_1\le\|f\|_1\cdot\|g\|_1</math> ;
• si <math>f\in{\rm L}^1(\R^N)</math> et <math>g\in{\rm L}^2(\R^N)</math>, alors <math>f*g\in{\rm L}^2(\R^N)</math> et <math>\|f*g\|_2\le\|f\|_1\cdot\|g\|_2</math> ;
• si <math>f,g\in{\rm L}^2(\R^N)</math>, alors <math>f*g\in{\rm L}^\infty(\R^N)</math> et <math>\|f*g\|_{\infty}\le\|f\|_2\cdot\|g\|_2</math>.

Ainsi :

• si <math>f,g\in{\rm L}^1(\R^N)</math>, alors <math>\mathcal F(f*g) = \mathcal F(f)\,\cdot\,\mathcal F(g)</math> ;
• par densité, cette égalité tient encore si <math>f\in{\rm L}^1</math> et <math>g\in{\rm L}^2</math> ;
• Si <math>f,g\in{\rm L}^2(\R^N)</math>, alors <math>f\ast g=\mathcal F^{-1}[\mathcal F(f)\,\cdot\,\mathcal F(g)]</math> ; de plus, l'égalité <math>\mathcal F(f*g)= \mathcal F(f)\,\cdot\,\mathcal F(g)</math> est vraie si <math>f*g\in{\rm L}^1</math>.

Principe d'incertitude

Remarque : ce paragraphe utilise la définition fréquentielle de la transformée de Fourier.

Modèle:Article détaillé On peut remarquer que les répartitions d'une fonction et de sa transformée de Fourier ont des comportements opposés : plus la masse de Modèle:Math est « concentrée », plus celle de la transformée est étalée, et inversement. Il est en fait impossible de concentrer à la fois la masse d'une fonction et celle de sa transformée.

Ce compromis entre la compaction d'une fonction et celle de sa transformée de Fourier peut se formaliser par un principe d'incertitude en considérant une fonction et sa transformée de Fourier comme des variables conjuguées par la forme symplectique sur le domaine temps-fréquence : par la transformation canonique linéaire, la transformation de Fourier est une rotation de 90° dans le domaine temps–fréquence qui préserve la forme symplectique.

Supposons Modèle:Mvar intégrable et de carré intégrable. Sans perte de généralité, on supposera Modèle:Mvar normalisée :

<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \,{\rm d}x=1</math>.

Par le théorème de Plancherel, on sait que <math>\hat f(\nu)</math> est également normalisée.

On peut mesurer la répartition autour d'un point (Modèle:Math sans perte de généralité) par :

<math>D_0(f)=\int_{-\infty}^\infty x^2|f(x)|^2\,{\rm d}x</math>.

De même pour la fréquence autour du point <math>\nu = 0</math> :

<math>D_0(\hat f)=\int_{-\infty}^\infty \nu^2|\hat f(\nu)|^2\,{\rm d}\nu</math>.

En probabilités, il s'agit des moments d'ordre 2 de Modèle:Math et de <math>|\hat f|^2</math>.

Le principe d'incertitude dit que si Modèle:Math est absolument continue et que les fonctions Modèle:Math et Modèle:Math sont de carrés intégrables, on a alors<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :

<math>D_0(f)D_0(\hat f) \geq \frac1{16\pi^2}</math>.

Cette inégalité est aussi connue sous le nom d'inégalité de Heisenberg-Gabor ou simplement inégalité de Heisenberg par son utilisation répandue en mécanique quantique.

L'égalité n'est atteinte que pour <math>f(x)=C_1 \,{\rm e}^{{-\pi x^2}/{\sigma^2}}</math> (alors <math>\hat f(\xi)= \sigma C_1 \,{\rm e}^{-\pi\sigma^2\xi^2}</math>) pour σ > 0 arbitraire et C₁ telle que Modèle:Mvar est L²–normalisée, soit, si Modèle:Mvar est une fonction gaussienne (normalisée) centrée en 0 et de variance σ², et sa transformée de Fourier est une gaussienne de variance σ^–2.

Transformation de Fourier sur l'espace de Schwartz

L'espace de Schwartz <math>\mathcal S(\R^n)</math> est l'espace des fonctions Modèle:Mvar de classe C^∞ sur <math>\R^n</math>, telles que Modèle:Mvar et toutes ses dérivées soient à décroissance rapide. C'est un sous-espace vectoriel de Modèle:Math, donc pour lequel la transformée de Fourier est définie. Ces fonctions sont à la fois temporellement et fréquentiellement à décroissance exponentielle. L'intérêt de la classe de Schwartz résulte de la propriété d'échange entre régularité et décroissance à l'infini qu'opère la transformée de Fourier.

• Toute fonction de Schwartz est de classe C^∞ avec des dérivées toutes intégrables. On en déduit que sa transformée de Fourier est à décroissance rapide.
• Toute fonction de Schwartz est à décroissance rapide. On en déduit que sa transformée de Fourier est de classe C^∞.

Ainsi, on visualise intuitivement pourquoi l'espace de Schwartz est invariant par transformation de Fourier. Cet espace est donc très commode pour l'utilisation de cette dernière. De plus, l'espace de Schwartz est dense dans Modèle:Math et dans Modèle:Math, et pourrait donc servir de base pour la définition de la transformation de Fourier sur ces espaces.

Modèle:Théorème Remarque : cette formule dépend de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elle est valide pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise <math>{\rm e}^{-{\rm i}2 \pi \xi \cdot x}</math>.

Transformation de Fourier pour les distributions tempérées

On définit la transformée de Fourier d'une distribution tempérée <math>T \in \mathcal S'(\R^n)</math> comme la distribution définie via son crochet de dualité par

<math> \forall \phi \in \mathcal S(\R^n)\quad \langle \mathcal FT, \phi \rangle=\langle T, \mathcal F\phi \rangle </math>.

De même que sur <math>\mathcal S</math>, l'opérateur <math>\mathcal F</math> ainsi défini sur <math>\mathcal S'</math> est un automorphisme bicontinu.

Les détails et des exemples ne sont pas donnés ici, mais figurent dans l'article relatif aux distributions tempérées.

Remarquons que l'expression de la transformée de Fourier d'une fonction Modèle:Mvar ressemble au produit scalaire dans <math>{\rm L}^2(\Complex), (f, g)_{L^2} := \int f \bar g</math> entre Modèle:Mvar et la conjuguée de <math>e_{2 \pi \xi} : x \mapsto{\rm e}^{{\rm i}2 \pi \xi \cdot x}</math>. Sauf que <math>(f, e_{2 \pi \xi})_{L^2}</math> n'a pas de sens car Modèle:Math n'est pas dans Modèle:Math. Mais le crochet de dualité des distributions <math>\langle T_f, e_{2 \pi \xi} \rangle</math>, qui pour les fonctions coïncide avec le produit scalaire de Modèle:Math, donne sens à cette formulation en tant que produit scalaire.

Cette généralisation va bien plus loin car l'espace des distributions tempérées <math>\mathcal S'(\R^n)</math> englobe les différents objets sur lesquels la transformée de Fourier a été définie : fonctions de <math>\R^n</math> sommables ou de carré sommable, fonctions de <math>\R^n</math> périodiques localement sommables ou localement de carré sommable, suites discrètes sommables, suites discrètes périodiques. La transformée de Fourier sur <math>\mathcal S'(\R^n)</math> unifie et généralise les différentes définitions des transformées avec l'unique formalisme des distributions. Nous allons montrer que la transformée de Fourier sur <math>\mathcal S'</math> généralise les notions d'intégrales de Fourier et de séries de Fourier, en analysant successivement ces espaces.

Compatibilités

Compatibilité avec les espaces de fonctions

Les fonctions intégrables et les fonctions de carré sommable définissent des distributions tempérées. Montrons que les deux notions possibles de transformée de Fourier coïncident dans le cas Modèle:Math, puis utilisons cette compatibilité pour l'établir dans le cas Modèle:Math. Modèle:Théorème

{{Démonstration|contenu=

• Soit <math>f\in{\rm L}^1</math>. Il s'agit de vérifier que pour tout <math>\phi\in\mathcal S</math>,

<math>\int_{\R^n}f(x)\hat{\phi}(x) {\rm d}x= \int_{\R^n}\hat f(y)\phi(y){\rm d}y</math>,

c'est-à-dire

<math>\int_{\R^n}f(x)\left(\int_{\R^n}\phi(y){\rm e}^{-{\rm i}x\cdot y}{\rm d}y\right){\rm d}x=\int_{\R^n}\left(\int_{\R^n}f(x){\rm e}^{-{\rm i}x\cdot y}{\rm d}x\right)\phi(y){\rm d}y</math>.

Cela résulte simplement du théorème de Fubini, appliqué à la fonction intégrable <math>(x,y)\mapsto f(x)\phi(y){\rm e}^{-{\rm i}x\cdot y}</math>.

• Les deux applications continues <math>f\mapsto\mathcal FT_f</math> et <math>f\mapsto T_\hat f</math>, de Modèle:Math dans l'espace séparé <math>\mathcal S'</math>, sont égales car elles coïncident, d'après le point précédent, sur le sous-espace dense Modèle:Math.

}}

Enfin, les fonctions périodiques intégrables sur une période sont exactement les fonctions à la fois périodiques et localement intégrables, et donc définissent des distributions régulières. {{théorème|Compatibilité avec Modèle:Math|La transformée de Fourier d'une distribution régulière Modèle:Mvar définie par une fonction Modèle:Mvar-périodique <math>f \in{\rm L}^1 ([0, T[)</math>, est la distribution à support discret correspondant à la suite de ses coefficients de Fourier :

<math>\mathcal FT_f = \sum_{n \in \Z}c_n (f)\delta_n\quad{\rm avec}\quad c_n (f) = \int_0^T f(x){\rm e}^{-{\rm i}\frac{2 \pi}{T} n x}\, \mathrm dx</math>.

}} Le résultat énoncé ne concerne que les fonctions périodiques de la variable réelle mais s'étendrait facilement aux fonctions périodiques sur un réseau de ℝ^N. Comme Modèle:Laquelle est bijective, la démonstration de ce résultat sera une conséquence du Modèle:Lequel.

Compatibilité avec les espaces de suites

Les suites, c'est-à-dire les signaux discrets, peuvent parfois s'exprimer comme des distributions sur ℝ à support dans ℤ. À une suite donnée <math>a := (a_n)_{n \in\Z}</math> correspond en effet de manière unique une série de masses de Dirac <math>T_a := \sum_{k \in\Z} a_k \delta_k</math>. Lorsque cette suite est sommable, cette série de masses de Dirac a un sens en tant que distribution tempérée d'ordre 0.

Par densité, la démonstration s'étend aux séries de carré sommable. Notons en outre que la transformation de Fourier des distributions périodiques donne une définition de la transformée de Fourier discrète de suites non nécessairement sommables : les suites à croissance polynomiale.

En particulier, la transformée de Fourier discrète (TFD) s'interprète également comme la transformée d'une distribution tempérée. En effet, une suite finie de N points <math>\lbrace x_k \rbrace_{k=0}^{N-1}</math> s'identifie de manière unique avec une suite N-périodique obtenue par périodisation, c'est-à-dire convolution avec un peigne de Dirac.

Signaux discrets et signaux périodiques

Nous pouvons retenir que formellement, la transformée de Fourier échange discrétisation et périodisation.

• Le spectre d'un signal discret Modèle:Math obtenu par échantillonnage à la période Modèle:Mvar présente un spectre périodique, résultant de la périodisation du spectre du signal continu :

<math>\mathbf{TFTD}(x[.]) = \mathcal F(x(.)) \ast W_{\frac{2\pi}T}</math>.

Si la multiplication n'est pas définie entre distribution, on donne dans le cas du peigne un sens à <math>x[.] = x(.) \cdot W_T</math>, et la formulation de convolution est encore vérifiée : <math>\mathcal F(x(.) \cdot W_T) = \mathcal F(x(.)) \ast \mathcal F(W_T)</math>.

• Le spectre d'un signal Modèle:Mvar-périodique Modèle:Math, c'est-à-dire la somme de sa série de Fourier, est celui obtenu par discrétisation du spectre du signal tronqué sur une seule période.

<math>\mathcal F(x_T (.)) = \mathcal F(x(.)) \cdot W_T </math> avec <math>x = x_T . 1_{[0,T]}</math>.

Liens avec d'autres transformations

Lien avec les transformations de Laplace

La transformée de Fourier d'une fonction Modèle:Mvar est un cas particulier de la transformée bilatérale de Laplace de cette même fonction définie par : <math>\mathcal L_{bil}\{f\} (p) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,{\rm e}^{-pt}{\rm d}t</math> avec <math>p \in \Complex</math>.

On constate alors que <math>\mathcal F\{f\} (\xi) = \mathcal L_{bil}\{f\} ({\rm i}\xi) </math>.

On peut également écrire ce lien en utilisant la transformée de Laplace « usuelle » par :

<math>\mathcal F\{f\}(\xi) = \mathcal L\{f^+\}(+{\rm i}\xi) + \mathcal L\{f^-\}(-{\rm i}\xi)</math>Modèle:Référence nécessaire

où les fonctions Modèle:Math et Modèle:Math sont définies par :

<math>f^+(t) = f(+t), \ \text{ si } t \geq 0, 0 \ \text {sinon}.</math>

<math>f^-(t) = f(-t), \ \text{ si } t \leq 0, 0 \ \text {sinon}.</math>

Lien avec les séries de Fourier

Parallèle formel

La transformée de Fourier est définie de façon semblable : la variable d'intégration Modèle:Mvar est remplacée par Modèle:Math, Modèle:Mvar étant l'indice de sommation, et l'intégrale par la somme. On a alors

<math>\hat f(k)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty f(n){\rm e}^{-{\rm i}2\pi kn\Delta t}</math>.

On trouvera quelques remarques à ce sujet dans Analyse spectrale.

Lien direct

Cependant, comme indiqué par l'étude théorique dans la section précédente, un lien direct entre séries et transformées de Fourier est possible par la théorie des distributions. En reprenant de façon plus pratique l'exposé précédent, la transformée de Fourier (définition fréquentielle) d'une fonction périodique Modèle:Mvar de période T est un peigne de Dirac de période fréquentielle <math> \nu_T = 1/T</math>, modulé par des coefficients complexes c_n :

<math>\hat f(\nu) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \delta\left(\nu - n\nu_T\right),</math>

où les c_n sont précisément les coefficients de la série de Fourier (complexe) de Modèle:Mvar. Pour le voir, il suffit de vérifier que la formule de transformation inverse de <math>\hat f(\nu) </math> (définition en fréquences) donne précisément la série de Fourier de Modèle:Mvar, et donc qu'elle est égale à Modèle:Mvar presque partout (en supposant que la série de Fourier de Modèle:Mvar converge).

Cela permet d'unifier le formalisme des séries de Fourier avec celui de la transformation de Fourier.

Avec la définition standard de la transformée de Fourier, il faut remplacer la formule précédente par :

<math>\hat f(\xi) = 2\pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \delta\left({\xi\over 2\pi} - \frac{n}{T}\right).</math>

Avec la définition pulsatoire, et en notant la pulsation de <math>f</math> par <math>\omega_T = 2\pi/ T</math>, elle devient

<math>\hat f(\omega) = \sqrt{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \delta\left({\omega - n\omega_T\over 2\pi}\right).</math>

Par exemple, après quelques manipulations, on a les transformées de Fourier fréquentielles suivantes :

• <math>{\cal F} e^{ 2i\pi \nu_T t} = \delta(\nu - \nu_T)</math> (Dirac décalé) ;
• <math>{\cal F} \cos(2\pi \nu_T t) = {1\over 2} \left [\delta(\nu - \nu_T) + \delta(\nu + \nu_T)\right] </math>
• <math>{\cal F} \sin(2\pi \nu_T t) = {1 \over 2i} [\delta(\nu - \nu_T) - \delta(\nu + \nu_T)] </math>

Il y a encore une formule utile qui donne les coefficients <math>c_n</math> de la série de Fourier d'une fonction périodique Modèle:Mvar dès que l'on connait la transformation de Fourier de sa « restriction » <math>g = 1_{\tau} f</math> à la période centrale <math> \tau = [-T/2,\ T/2]</math> (<math>\hat g</math> existe nécessairement si Modèle:Mvar est localement intégrable puisque <math>\tau</math> est compacte). En effet, par comparaison de la formule des coefficients de la série de Fourier de <math>f</math> avec celle donnant la transformée de Fourier inverse de <math>g</math>, on obtient facilement, pour la définition fréquentielle, que

<math> c_n = \frac{1}{T} \hat g(n\nu_T) = \nu_T \hat g(n \nu_T).</math>

Pour la définition standard de la transformée de Fourier, cette formule devient <math>c_n = {1\over T}\hat g (n \omega_T), </math> avec <math>\omega_T = 2\pi/T</math>, et pour la définition pulsatoire, elle devient <math>c_n = {1 \over \sqrt{2\pi}}\omega_T \hat g (n\omega_T).</math>

Cette formule permet l'utilisation de l'imposante machinerie disponible pour la transformation de Fourier (convolution, décalage, produit, distributions, tables, etc.) pour le calcul des coefficients de Fourier d'une fonction périodique. On peut ainsi facilement obtenir la série de Fourier de trains d'ondes pulsées de forme carrée, triangulaire, demi-sinusoïdale, etc.

Par exemple, quelle est la série de Fourier correspondant à un train de pulses étroits, de masse 1 et de période T grande relativement à la durée des pulses ? Approximons chaque pulse par un Dirac <math>\delta</math>. La transformée de Fourier fréquentielle de <math>\delta </math> est la fonction identiquement égale à 1 (voir table ci-dessous). Donc la formule précédente donne <math>c_n = {1\over T}.</math> Ainsi la série de Fourier du train de pulses est

<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{1\over T}{\rm e}^{{\rm i}2\pi\tfrac n Tx} = {1\over T} + \sum_{n = 1}^\infty {2\over T}\cos(2\pi\tfrac n Tx)</math>

(au sens des distributions).

Autre interprétation

Comme on l'a vu plus haut, il est d'autre part possible d'interpréter l'intégrale de la transformée de Fourier comme une somme finie de n oscillateurs harmoniques, où n est un entier non standard<ref>Ou plus précisément à l’ombre de cette sommeModèle:Refnec.</ref> ; cela revient à identifier (en un sens différent) la transformation de Fourier aux coefficients d'une série de Fourier.

Transformée

On utilise les variables normalisées suivantes : <math>F={f \over f_e}=f \Delta t = f|_{\Delta t=1}</math>, <math>\Omega =2\pi F=2\pi f\Delta t=\omega\Delta t=\omega|_{\Delta t=1}</math>.

Transformation de Fourier (analyse)	Transformation inverse (synthèse)
<math>X(f)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n){\rm e}^{-{\rm i}2\pi fn\Delta t}</math>	<math>x(n)=\int_{f_e} X(f){\rm e}^{{\rm i}2\pi fn\Delta t}{\rm d}f</math>
<math>X(w)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n){\rm e}^{-{\rm i}\omega n\Delta t}</math>	<math>x(n)={1 \over 2\pi} \int_{\omega_2=2\pi f_e}X(w){\rm e}^{{\rm i}wn\Delta t}{\rm d}w</math>
<math>X(F)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n){\rm e}^{-{\rm i}2\pi nF}</math>	<math>x(n)=\int_1 X(f){\rm e}^{{\rm i}2\pi nF}{\rm d}F\,\!</math>
<math>X(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n){\rm e}^{-{\rm i}n\Omega}</math>	<math>x(n)={1 \over 2\pi}\int_{2\pi} X(\Omega){\rm e}^{{\rm i}n\Omega}{\rm d}\Omega</math>

Généralisation

La transformée de Fourier se généralise pratiquement telle quelle aux groupes abéliens localement compacts, grâce à la dualité de Pontryagin.

En traitement d'images, on effectue des transformations de Fourier à deux dimensions : si Modèle:Mvar est une fonction de ℝ² dans ℝ, sa transformée de Fourier est définie par :

<math>\hat f(u, v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)\mathrm e^{-{\rm i}(ux + vy)}\,\mathrm dx\mathrm dy</math>.

Tables des principales transformées de Fourier

Les tableaux suivants présentent les transformations de Fourier de certaines fonctions. Les transformées de Fourier de Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont notées respectivement Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math. N'apparaissent que les trois conventions les plus courantes. Il peut être utile de noter que l'entrée sur la dualité indique une relation entre la transformée de Fourier d'une fonction et la fonction d'origine, ce qui peut être considéré comme une relation entre la transformation de Fourier et son inverse.

Relations entre fonctions à une variable

Les transformées de Fourier de ce tableau sont traitées dans Modèle:Ouvrage ou Modèle:Ouvrage.

Fonction	Transformée de Fourier Modèle:Math est la fréquence	Transformée de Fourier Modèle:Math est la pulsation ou fréquence angulaire	Transformée de Fourier définition alternative	Remarques
<math> f(x)\,</math>	<math>\begin{align} &\hat{f}(\xi) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-2\pi {\rm i} x\xi}\,\mathrm{d}x \end{align}</math>	<math>\begin{align} &\hat{f}(\omega) \\&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-{\rm i} \omega x}\,\mathrm{d}x \end{align}</math>	<math>\begin{align} &\hat{f}(\nu) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-{\rm i} \nu x}\,\mathrm{d}x \end{align}</math>	Définition
<math> a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\,</math>	<math> a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot \hat{g}(\xi)\,</math>	<math> a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot \hat{g}(\omega)\,</math>	<math> a\cdot \hat{f}(\nu) + b\cdot \hat{g}(\nu)\,</math>	Linéarité
<math> f(x - a)\,</math>	<math> {\rm e}^{-2\pi {\rm i} a \xi} \hat{f}(\xi)\,</math>	<math> {\rm e}^{- {\rm i} a \omega} \hat{f}(\omega)\,</math>	<math> {\rm e}^{- {\rm i} a \nu} \hat{f}(\nu)\,</math>	Décalage dans le temps
<math> f(x){\rm e}^{{\rm i}ax}\,</math>	<math> \hat{f} \left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)\,</math>	<math> \hat{f}(\omega - a)\,</math>	<math> \hat{f}(\nu - a)\,</math>	Décalage dans le domaine des fréquences, relation duale de la formule du décalage dans le temps
<math> f(a x)\,</math>	a|} \hat{f}\left( \frac{\xi}{a} \right)\,</math>	a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)\,</math>	a|} \hat{f}\left( \frac{\nu}{a} \right)\,</math>	a|</math> est grand, alors Modèle:Math est resserré autour de 0 et <math> \frac{1}{|a|}\hat{f} \left( \frac{\omega}{a} \right)\,</math> s'étale et s’aplatit.
<math> \hat{f}(x)\,</math>	<math> f(-\xi)\,</math>	<math> f(-\omega)\,</math>	<math> 2\pi f(-\nu)\,</math>	Dualité. Ici Modèle:Math doit être calculée en utilisant la même formule que dans la colonne transformation de Fourier. Cela résulte d'un changement de la variable "muette", de Modèle:Mvar à Modèle:Mvar ou Modèle:Mvar ou Modèle:Mvar.
<math> \frac{\mathrm{d}^n f(x)}{\mathrm{d}x^n}\,</math>	<math> (2\pi {\rm i}\xi)^n \hat{f}(\xi)\,</math>	<math> ({\rm i}\omega)^n \hat{f}(\omega)\,</math>	<math> ({\rm i}\nu)^n \hat{f}(\nu)\,</math>
<math> x^n f(x)\,</math>	<math> \left (\fracModèle:\rm i{2\pi}\right)^n \frac{\mathrm{d}^n \hat{f}(\xi)}{\mathrm{d}\xi^n}\,</math>	<math> {\rm i}^n \frac{\mathrm{d}^n \hat{f}(\omega)}{\mathrm{d}\omega^n}</math>	<math> {\rm i}^n \frac{\mathrm{d}^n \hat{f}(\nu)}{\mathrm{d}\nu^n}</math>	Relation duale de la précédente
<math> (f * g)(x)\,</math>	<math> \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi)\,</math>	<math> \sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\,</math>	<math> \hat{f}(\nu) \hat{g}(\nu)\,</math>	La notation Modèle:Math signifie le produit de convolution de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar — cette règle est le théorème de Fubini
<math> f(x) g(x)\,</math>	<math> \left(\hat{f} * \hat{g}\right)(\xi)\,</math>	<math> \frac{1}\sqrt{2\pi}\left(\hat{f} * \hat{g}\right)(\omega)\,</math>	<math> \frac{1}{2\pi}\left(\hat{f} * \hat{g}\right)(\nu)\,</math>	Relation duale du théorème de Fubini
Si Modèle:Math est purement réelle	<math> \hat{f}(-\xi) = \overline{\hat{f}(\xi)}\,</math>	<math> \hat{f}(-\omega) = \overline{\hat{f}(\omega)}\,</math>	<math> \hat{f}(-\nu) = \overline{\hat{f}(\nu)}\,</math>	Symétrie hermitienne. Modèle:Math est la notation du complexe conjugué de Modèle:Mvar.
Si Modèle:Math est purement réelle et paire	Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont purement réelles et paires.
Si Modèle:Math est purement réelle et impaire	Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont purement imaginaires et impaires.
Si Modèle:Math est imaginaire pur	<math> \hat{f}(-\xi) = -\overline{\hat{f}(\xi)}\,</math>	<math> \hat{f}(-\omega) = -\overline{\hat{f}(\omega)}\,</math>	<math> \hat{f}(-\nu) = -\overline{\hat{f}(\nu)}\,</math>	Modèle:Math est le complexe conjugué de Modèle:Mvar.
<math> \overline{f(x)}</math>	<math> \overline{\hat{f}(-\xi)}</math>	<math> \overline{\hat{f}(-\omega)}</math>	<math> \overline{\hat{f}(-\nu)}</math>	Conjugaison complexe
<math> f(x) \cos (a x)</math>	<math> \frac{ \hat{f}\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)+\hat{f}\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2}</math>	<math> \frac{\hat{f}(\omega-a)+\hat{f}(\omega+a)}{2}\,</math>	<math> \frac{\hat{f}(\nu-a)+\hat{f}(\nu+a)}{2}</math>	Peut se déduire de la formule d'Euler : <math>\cos(a x) = \frac{{\rm e}^{{\rm i} a x} + {\rm e}^{-{\rm i} a x}}{2}</math>
<math> f(x)\sin( ax)</math>	<math> \frac{\hat{f}\left(\xi-\frac{a}{2\pi}\right)-\hat{f}\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2{\rm i}}</math>	<math> \frac{\hat{f}(\omega-a)-\hat{f}(\omega+a)}{2{\rm i}}</math>	<math> \frac{\hat{f}(\nu-a)-\hat{f}(\nu+a)}{2{\rm i}}</math>	Peut se déduire de la formule d'Euler : <math>\sin(a x) = \frac{{\rm e}^{{\rm i} a x} - {\rm e}^{-{\rm i} a x}}{2{\rm i}}</math>

Fonctions de carré intégrable à une variable

Les transformées de Fourier de ce tableau peuvent être trouvées dans les deux références précédentes ou dans Modèle:Ouvrage.

Fonction	Transformée de Fourier Modèle:Math est la fréquence	Transformée de Fourier Modèle:Math est la pulsation ou fréquence angulaire	Transformée de Fourier définition alternative	Remarques
<math> f(x)\,</math>	<math>\begin{align} &\hat{f}(\xi) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-2\pi i x\xi}\,\mathrm{d}x \end{align}</math>	<math>\begin{align} &\hat{f}(\omega) \\&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-{\rm i} \omega x}\,\mathrm{d}x \end{align}</math>	<math>\begin{align} &\hat{f}(\nu) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-{\rm i} \nu x}\,\mathrm{d}x \end{align}</math>
<math> \operatorname{rect}(a x) \,</math>	a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math>	<math> \frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)</math>	a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\nu}{2\pi a}\right)</math>	Pour la fonction rectangulaire voir fonction porte ; la fonction sinus cardinal normalisé est définie ici par Modèle:Math
<math> \operatorname{sinc}(a x)\,</math>	a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\xi}{a} \right)\,</math>	<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)</math>	a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\nu}{2 \pi a}\right)</math>	Relation duale de la précédente. La fonction porte est un filtre passe-bas idéal, et la fonction sinus cardinal est la réponse impulsionnelle non causale d'un tel filtre. La fonction Modèle:Math est la fonction sinus cardinal normalisée : Modèle:Math
<math> \operatorname{sinc}^2 (a x)</math>	a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\xi}{a} \right) </math>	<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) </math>	a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right) </math>	La fonction Modèle:Math est la fonction triangulaire.
<math> \operatorname{tri} (a x)</math>	a|}\cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\xi}{a} \right) \,</math>	<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) </math>	a|} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right) </math>	Relation duale de la précédente
<math> {\rm e}^{- a x} u(x) \,</math>	<math> \frac{1}{a + 2 \pi {\rm i} \xi}</math>	<math> \frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + {\rm i} \omega)}</math>	<math> \frac{1}{a + {\rm i} \nu}</math>	La fonction Modèle:Math est la fonction marche de Heaviside et Modèle:Math.
<math> {\rm e}^{-\alpha x^2}\,</math>	<math> \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot {\rm e}^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}</math>	<math> \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot {\rm e}^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}</math>	<math> \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot {\rm e}^{-\frac{\nu^2}{4 \alpha}}</math>	Nota : pour les deux premières transformations de Fourier, la fonction gaussienne Modèle:Math est, pour un choix judicieux de Modèle:Mvar, sa propre transformée de Fourier. Pour qu'elle soit intégrable on doit avoir Modèle:Math.
x|} \,</math>	<math> \frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 \xi^2} </math>	<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2} </math>	<math> \frac{2a}{a^2 + \nu^{2}} </math>	Pour Modèle:Math. Ceci signifie que la transformée de Fourier d'une densité de probabilité d'une distribution de Laplace est une densité de probabilité d'une loi de Cauchy.
<math> \operatorname{sech}(a x) \,</math>	<math> \frac{\pi}{a} \operatorname{sech} \left( \frac{\pi^2}{a} \xi \right)</math>	<math> \frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right)</math>	<math> \frac{\pi}{a}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \nu \right)</math>	La sécante hyperbolique est sa propre transformée de Fourier.
<math> {\rm e}^{-\frac{a^2 x^2}2} H_n(a x)\,</math>	<math> \frac{\sqrt{2\pi}(-{\rm i})^n}{a} {\rm e}^{-\frac{2\pi^2\xi^2}{a^2}} H_n\left(\frac{2\pi\xi}a\right)</math>	<math> \frac{(-{\rm i})^n}{a} {\rm e}^{-\frac{\omega^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \omega a\right)</math>	<math> \frac{(-{\rm i})^n \sqrt{2\pi}}{a} {\rm e}^{-\frac{\nu^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \nu a \right)</math>	Modèle:Mvar est le Modèle:Mvare polynôme d'Hermite. Si Modèle:Math alors les fonctions d'Hermite-Gauss sont des fonctions propres de l'opérateur transformée de Fourier.

Distributions à une variable

Les transformées de Fourier de ce tableau sont traitées dans Modèle:Ouvrage ou dans Modèle:Ouvrage.

Fonction	Transformée de Fourier Modèle:Math est la fréquence	Transformée de Fourier Modèle:Math est la pulsation ou fréquence angulaire	Transformée de Fourier définition alternative	Remarques
<math> f(x)\,</math>	<math>\begin{align} &\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-2\pi {\rm i} x\xi}\,{\rm d}x \end{align}</math>	<math>\begin{align} &\hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-{\rm i} \omega x}\,{\rm d}x \end{align}</math>	<math>\begin{align} &\hat{f}(\nu)= \int_{-\infty}^\infty f(x) {\rm e}^{-{\rm i} \nu x}\,{\rm d}x \end{align}</math>
<math> 1</math>	<math> \delta(\xi)</math>	<math> \sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)</math>	<math> 2\pi\delta(\nu)</math>	Modèle:Math est la distribution de Dirac.
<math> \delta(x)\,</math>	<math> 1</math>	<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,</math>	<math> 1</math>	Relation duale de la précédente.
<math> {\rm e}^{{\rm i} a x}</math>	<math> \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)</math>	<math> \sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)</math>	<math> 2 \pi\delta(\nu - a)</math>
<math> \cos (a x)</math>	<math> \frac{ \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)+\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2}</math>	<math> \sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\,</math>	<math> \pi\left(\delta(\nu-a)+\delta(\nu+a)\right)</math>	Résulte de la formule d'Euler.
<math> \sin(ax)</math>	<math> \frac{\delta\left(\xi-\frac{a}{2\pi}\right)-\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2i}</math>	<math> \sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}</math>	<math> -{\rm i}\pi\left(\delta(\nu-a)-\delta(\nu+a)\right)</math>	Résulte de la formule d'Euler.
<math> \cos \left( a x^2 \right) </math>	<math> \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>	<math> \frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>	<math> \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\nu^2}{4a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>
<math> \sin \left( a x^2 \right) \,</math>	<math> - \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>	<math> \frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>	<math> -\sqrt{\frac{\pi}{a}}\sin \left( \frac{\nu^2}{4a} - \frac{\pi}{4} \right)</math>
<math> x^n\,</math>	<math> \left(\fracModèle:\rm i{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (\xi)\,</math>	<math> {\rm i}^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,</math>	<math> 2\pi {\rm i}^n\delta^{(n)} (\nu)\,</math>	Ici Modèle:Mvar est un entier naturel et <math> \delta^{(n)} (\xi)\,</math> est la Modèle:Mvarième dérivée (au sens des distributions) de la distribution de Dirac. On peut en déduire les transformées de tous les polynômes.
<math> \delta^{(n)}(x)\,</math>	<math> (2\pi {\rm i}\xi)^n\,</math>	<math> \frac{({\rm i}\omega)^n}{\sqrt{2\pi}} \,</math>	<math> ({\rm i}\nu)^n\,</math>	<math> \delta^{(n)} (\xi)\,</math> est la Modèle:Mvarième dérivée (au sens des distributions) de la distribution de Dirac.
<math> \frac{1}{x}</math>	<math> -{\rm i}\pi\sgn(\xi)</math>	<math> -{\rm i}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)</math>	<math> -{\rm i}\pi\sgn(\nu)</math>	Ici Modèle:Math est la fonction signe. On notera que Modèle:Math n'est pas une distribution. On doit utiliser la valeur principale de Cauchy pour étudier les fonctions de Schwartz. Cette règle est utile quand on étudie la transformation de Hilbert.
x| \end{align}</math>	<math> -{\rm i}\pi \frac{(-2\pi {\rm i}\xi)^{n-1}}{(n-1)!} \sgn(\xi)</math>	<math> -{\rm i}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-{\rm i}\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)</math>	<math> -{\rm i}\pi \frac{(-{\rm i}\nu)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\nu)</math>	Modèle:Math est la Modèle:Lien définie par la dérivée de <math>\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n}\log|x|</math>
x|^\alpha\,</math>	2\pi\xi|^{\alpha+1}}</math>	\omega|^{\alpha+1}} </math>	\nu|^{\alpha+1}} </math>	Formule valide pour α réel avec Modèle:Math. Si α complexe avec Modèle:Math, alors <math> |x|^\alpha\,</math> est une fonction localement intégrable et est donc une distribution tempérée. La fonction Modèle:Math est une fonction holomorphe du demi-plan complexe réel dans l'espace des distributions tempérées. Elle admet une unique extension méromorphe qui est une distribution tempérée également notée <math> |x|^\alpha\,</math> uniquement pour Modèle:Math.
x|}} \,</math>	\xi|}} </math>	\omega|}}</math>	\nu|}} </math>	Cas particulier de la précédente, pour Modèle:Math.
<math> \sgn(x)</math>	<math> \frac{1}{{\rm i}\pi \xi}</math>	<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{{\rm i}\omega } </math>	<math> \frac{2}{{\rm i}\nu }</math>	La transformation de Fourier doit ici être prise comme la valeur principale de Cauchy.
<math> u(x)</math>	<math> \frac{1}{2}\left(\frac{1}{{\rm i}\pi \xi} + \delta(\xi)\right)</math>	<math> \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{{\rm i}\pi \omega} + \delta(\omega)\right)</math>	<math> \pi\left( \frac{1}{{\rm i}\pi \nu} + \delta(\nu)\right)</math>	La fonction Modèle:Math est la fonction de Heaviside.
<math> \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (x - n T)</math>	<math> \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \xi -\frac{k }{T}\right)</math>	<math> \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -\frac{2\pi k}{T}\right)</math>	<math> \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \nu -\frac{2\pi k}{T}\right)</math>	Transformée de Fourier du peigne de Dirac. On utilise aussi le fait que <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} {\rm e}^{{\rm i}nx}= 2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x+2\pi k)</math> sont considérées comme des distributions.
<math> J_0 (x)</math>	<math> \frac{2\, \operatorname{rect}(\pi\xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}} </math>	<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\operatorname{rect}\left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}} </math>	<math> \frac{2\,\operatorname{rect}\left(\frac{\nu}{2} \right)}{\sqrt{1 - \nu^2}}</math>	La fonction Modèle:Math est la fonction de Bessel d'ordre zéro de la Modèle:1re espèce.
<math> J_n (x)</math>	<math> \frac{2 (-{\rm i})^n T_n (2 \pi \xi) \operatorname{rect}(\pi \xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}} </math>	<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-{\rm i})^n T_n (\omega) \operatorname{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}} </math>	<math> \frac{2(-{\rm i})^n T_n (\nu) \operatorname{rect} \left( \frac{\nu}{2} \right)}{\sqrt{1 - \nu^2}} </math>	Généralisation de 315. La fonction Modèle:Math est la fonction de Bessel d'ordre n de la Modèle:1re espèce. La fonction Modèle:Math est le polynôme de Tchebychev de Modèle:1re espèce.
x \right|</math>	\xi \right|} - \gamma \delta ( \xi ) </math>	\omega \right|} - \sqrt{2 \pi} \gamma \delta ( \omega ) </math>	\nu \right|} - 2 \pi \gamma \delta (\nu) </math>	Modèle:Mvar est la constante d'Euler-Mascheroni.
<math> \left( \mp {\rm i}x \right)^{-\alpha}</math>	<math> \frac{\left(2\pi\right)^\alpha}{\Gamma(\alpha)}u\left(\pm \xi \right)\left(\pm \xi \right)^{\alpha-1} </math>	<math> \frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(\alpha)}u(\pm\omega)(\pm\omega)^{\alpha-1} </math>	<math> \frac{2\pi}{\Gamma\left(\alpha\right)}u(\pm\nu)(\pm\nu)^{\alpha-1} </math>	Formule correcte pour Modèle:Math. La formule de dérivation permet de déduire la formule pour des exposants plus élevés. Modèle:Mvar est la fonction de Heaviside.

Fonctions de deux variables

Fonction	Transformée de Fourier Modèle:Math est la fréquence	Transformée de Fourier Modèle:Math est la pulsation ou fréquence angulaire	Transformée de Fourier définition alternative	Remarques
<math> f(x,y)</math>	<math>\begin{align}& \hat{f}(\xi_x, \xi_y) \\ &= \iint f(x,y) {\rm e}^{-2\pi {\rm i}(\xi_x x+\xi_y y)}\,{\rm d}x\,{\rm d}y \end{align}</math>	<math>\begin{align}& \hat{f}(\omega_x,\omega_y) \\ &= \frac{1}{2 \pi} \iint f(x,y) {\rm e}^{-{\rm i} (\omega_x x +\omega_y y)}\, {\rm d}x\,{\rm d}y \end{align}</math>	<math>\begin{align}& \hat{f}(\nu_x,\nu_y) \\ &= \iint f(x,y) {\rm e}^{-{\rm i}(\nu_x x+\nu_y y)}\,{\rm d}x\,{\rm d}y \end{align}</math>	Les variables Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar sont réelles. Les intégrales couvrent tout le plan complexe.
<math> {\rm e}^{-\pi\left(a^2x^2+b^2y^2\right)}</math>	ab|} {\rm e}^{-\pi\left(\frac{\xi_x^2}{a^2} + \frac{\xi_y^2}{b^2}\right)}</math>	ab|} {\rm e}^{-\frac{1}{4\pi}\left(\frac{\omega_x^2}{a^2} + \frac{\omega_y^2}{b^2}\right)}</math>	ab|} {\rm e}^{-\frac{1}{4\pi}\left(\frac{\nu_x^2}{a^2} + \frac{\nu_y^2}{b^2}\right)}</math>	La fonction et ses transformées sont toutes des gaussiennes.
<math> \operatorname{circ}\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)</math>	<math> \frac{J_1\left(2 \pi \sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}\right)}{\sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}}</math>	<math> \frac{J_1\left(\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}\right)}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}}</math>	<math> \frac{2\pi J_1\left(\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}\right)}{\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}}</math>	La fonction est définie par Modèle:Math sur Modèle:Math, et est nulle partout ailleurs. Le résultat est la distribution de l'amplitude de la tache d'Airy. Modèle:Math est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1<ref>Modèle:Harvnb.</ref>.
<math> \fracModèle:\rm i{x+{\rm i} y}</math>	<math> \frac{1}{\xi_x+{\rm i}\xi_y}</math>	<math> \frac{1}{\omega_x+{\rm i}\omega_y}</math>	<math> \frac{2\pi}{\nu_x+{\rm i}\nu_y}</math>

Voir aussi

Articles connexes

• Densité spectrale
• Densité spectrale de puissance
• Produit de convolution
• Transformation de Fourier rapide
• Transformation de Fourier discrète
• Théorème d'inversion de Fourier
• Transformation de Laplace
• Transformation de Hankel
• Transformation de Mellin
• Bispectre
• Spectroscopie transformée de Fourier

Bibliographie

• Jean-Michel Bony, Cours d'analyse, Éditions de l'École Polytechnique
• Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse, Presses polytechniques et universitaires romandes, 1998 Modèle:ISBN

Liens externes

• Alain Yger, Espaces de Hilbert et analyse de Fourier (2008), cours de Modèle:3e de licence, université Bordeaux I
• Modèle:Lien web, programme éducatif sur les transformées de Fourier d'images
• J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur (1822), chap. III (fondements de la transformée de Fourier), en ligne et commenté sur le site BibNum
• Œil et physiologie de la vision : « les signaux électrophysiologiques ».