Nombre de Bernoulli

En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés Modèle:Mvar (ou parfois Modèle:Mvar pour ne pas les confondre avec les polynômes de Bernoulli ou avec les nombres de Bell), constituent une suite de nombres rationnels.

Ces nombres ont d'abord été étudiés par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes du type

<math>\sum_{k=0}^{n-1} k^m = 0^m + 1^m + 2^m + \cdots + {(n-1)}^m.</math>

Pour des valeurs entières de Modèle:Mvar, cette somme s'écrit comme un polynôme de la variable n dont les premiers termes sont :

<math>\sum_{k=0}^{n-1} k^m =\frac1{m+1}\left(n^{m+1}-\frac12{m+1\choose1}{n^m}+\frac16{m+1\choose2}{n^{m-1}}-\frac1{30}{m+1\choose4}{n^{m-3}}+\frac1{42}{m+1\choose6}{n^{m-5}}+\ldots\right).</math>

Les premiers nombres de Bernoulli sont donnés par la table suivante :

Modèle:Mvar	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Modèle:Mvar	1	Modèle:Math	Modèle:Sfrac	0	Modèle:Math	0	Modèle:Sfrac	0	Modèle:Math	0	Modèle:Sfrac	0	Modèle:Math	0	Modèle:Sfrac

On peut les définir par l'intermédiaire du développement en série entière (convergent si Modèle:Math) :

<math>\frac x{{\rm e}^x-1}=\sum_{k=0}^{\infty}B_k\,\frac{x^k}{k!}= 1-\frac12\,x+\frac16\,\frac{x^2}{2!}

-\frac1{30}\,\frac{x^4}{4!} +\frac1{42}\,\frac{x^6}{6!} -\frac1{30}\,\frac{x^8}{8!} +\frac5{66}\,\frac{x^{10}}{10!} -\frac{691}{2\;730}\,\frac{x^{12}}{12!} +\frac76\,\frac{x^{14}}{14!}+\ldots</math>

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans de très nombreuses applications, depuis la formule d'Euler-Maclaurin :

<math>\sum_{k=0}^{n-1} f(k)\approx\int_0^n f(x)\,{\rm d}x-\frac12 (f(n)-f(0))+\frac16\frac{f'(n)-f'(0)}{2!}-\frac1{30}\frac{f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0)}{4!}+\frac1{42}\frac{f^{(5)}(n)-f^{(5)}(0)}{6!}+\ldots</math>,

ou les sommes définissant la fonction zêta de Riemann, dues à Leonhard Euler :

<math>\zeta(2p)=1+\frac1{2^{2p}}+\frac1{3^{2p}}+\frac1{4^{2p}}+\cdots+\frac1{n^{2p}}+\cdots=|B_{2p}|\frac {2^{2p-1}}{(2p)!}\pi^{2p},</math>

jusqu'à l'approche par Kummer du dernier théorème de Fermat.

Fichier:JakobBernoulliSummaePotestatum.png

Jakob Bernoulli, Summae Potestatum, extrait de Ars Conjectandi, 1713.

Les nombres Modèle:Math apparaissent dans Ars Conjectandi de Bernoulli, 1713, Modèle:Nobr.

Les nombres de Bernoulli avec <math>B_1=1/2</math> au lieu de <math>-1/2</math> sont la transformée binomiale des premiers et s'obtiennent à partir des nombres de Worpitzky ou, ce qui est équivalent, en appliquant l'algorithme d'Akiyama-Tanigawa<ref>Modèle:Article.</ref> à Modèle:Math. À la suite de l'article « The Bernoulli Manifesto » de Peter Luschny, Donald Knuth a adopté la valeur <math>B_1=1/2</math>, aussi dans les récentes réimpressions du livre Concrete Mathematics<ref>Knuth:Recent News</ref><ref> « the new (34th) printing of Concrete Mathematics, released in January 2022 contains the much more extensive changes that are needed to tell a more comprehensive story »</ref> ; Knuth présente les nouvelles versions dans un texte à part<ref>Replacement pages.</ref>.

Histoire

Les nombres de Bernoulli ont été découverts à peu près en même temps et indépendamment par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli, dont ils portent le nom, et par le mathématicien japonais Seki Takakazu. La découverte de Seki a été publiée à titre posthume en 1712<ref>Modèle:Article</ref> dans son ouvrage Katsuyō Sanpō ; celle de Bernoulli, également à titre posthume, dans son Ars Conjectandi publié en 1713. Ada Lovelace, en 1842, traduisant et annotant une description de la machine analytique de Babbage publiée par le mathématicien italien Louis-Frédéric Ménabréa en français dans un journal suisse<ref>Modèle:Article</ref>, décrit dans la note G un algorithme permettant de générer des nombres de Bernoulli avec cette machine<ref>Modèle:Ouvrage</ref>. Par conséquent, les nombres de Bernoulli ont la particularité de faire l'objet du premier programme informatique complexe publié<ref>Modèle:Article</ref>.

Fichier:Diagram for the computation of Bernoulli numbers.jpg

« Programme » de calcul des nombres de Bernoulli dans la note G d'Ada Lovelace (1843).

Introduction : sommes de puissances

Modèle:Article détaillé Jacques Bernoulli connaissait quelques formules comme<ref>Modèle:Ouvrage.</ref><ref>Modèle:Ouvrage.</ref><ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :

<math> \begin{align} 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1)&=\frac1{2}n^2-\frac n2&&=\frac{n(n-1)}2\,; \\

1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + {(n-1)}^2 &= \frac13n^3-\frac12n^2+\frac n6 &&=\frac{n(n-1)(2n-1)}6\,; \\ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + {(n-1)}^3 &= \frac14n^4-\frac12n^3+\frac14n^2 &&=\frac{n^2(n-1)^2}4\,;\\ 1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + {(n-1)}^4 &= \frac15n^5-\frac12n^4+\frac13n^3-\frac n{30}&&=\frac{n(n-1)(2n-1)(3n^2-3n-1)}{30}\,;\\

1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + {(n-1)}^5 &= \frac16n^6-\frac12n^5+\frac{5}{12}n^4-\frac1{12}n^2&&={n^2(n-1)^2(2n^2-2n-1)\over 12}.\end{align}</math>

Bernoulli observa que l'expression

<math>S_m(n)=\sum_{k=0}^{n-1} k^m = 0^m + 1^m + 2^m + \cdots + {(n-1)}^m</math>

est toujours un polynôme en Modèle:Mvar, de degré Modèle:Math, de terme constant nul, dont le monôme dominant est Modèle:Math et le monôme de degré Modèle:Mvar est<ref name="Ireland229">Modèle:Harvsp.</ref> (si Modèle:Math) Modèle:Math. On démontre (voir plus bas le paragraphe « Formules de récurrence ») que plus généralement, pour Modèle:Math, le coefficient de Modèle:Math est le produit de Modèle:Math par un nombre rationnel Modèle:Mvar qui dépend seulement de Modèle:Mvar et pas de Modèle:Mvar. On peut donc définir les nombres de Bernoulli Modèle:Mvar par :

<math>S_m(n)=\sum_{k=0}^m\frac{m!}{(m+1-k)!}\frac{B_k}{k!}\,n^{m+1-k}={1\over{m+1}}\sum_{k=0}^m {m+1\choose k}B_k\,n^{m+1-k}=\sum_{k=0}^m{m\choose k}B_k\,\frac{n^{m+1-k}}{m+1-k}.</math>

En particulier, le coefficient de Modèle:Mvar dans le polynôme Modèle:Math est le nombre Modèle:Mvar.

Premiers nombres de Bernoulli

En donnant à Modèle:Mvar la valeur 0, on obtient (avec 0⁰ = 1) : pour tout entier Modèle:Math,

<math>B_0n=S_0(n)=0^0+1^0+\cdots +(n-1)^0=n,</math>

ce qui montre que Modèle:Math.

En donnant à Modèle:Mvar la valeur 1, on obtient :

<math>\frac12(B_0n^2+2B_1n)=S_1(n)=0+1+2+\ldots+(n-1)=\frac12(n^2-n),</math>

ce qui confirme que Modèle:Math et montre que Modèle:Math.

En donnant à Modèle:Mvar la valeur 2, on obtient :

<math>\frac13(B_0 n^3+3B_1n^2+3B_2n)=S_2(n)=0^2+1^2+2^2+\ldots+(n-1)^2=\frac13\left(n^3-\frac32n^2+\frac n2\right),</math>

ce qui montre de plus que Modèle:Math.

En donnant à Modèle:Mvar la valeur 3, on obtient :

<math>\frac14(B_0 n^4+4B_1n^3+6B_2n^2+4B_3n)=S_3(n)=0^3+1^3+2^3+\ldots+(n-1)^3=\frac14(n^4-2n^3+n^2),</math>

ce qui montre aussi que Modèle:Math.

Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence

À partir de la condition initiale Modèle:Math, on peut calculer les nombres de Bernoulli par récurrence en utilisant le fait que

<math>\forall m\in\N^*\quad\frac1{m+1}\sum_{k=0}^m{m+1\choose k}B_k=S_m(1)=\sum_{k=0}^0k^m=0^m=0,</math>

ce qui peut se voir comme une relation de récurrence<ref name="Ireland229"/> :

<math>(m+1)B_m=-\sum_{k=0}^{m-1}{m+1\choose k}B_k.</math>

Cette suite d'équations linéaires<ref>Modèle:Harvsp.</ref>

<math>1+2B_1=0,</math>

<math>1+3B_1+3B_2=0,</math>

<math>1+4B_1+6B_2+4B_3=0,</math>

<math>1+5B_1+10B_2+10B_3+5B_4=0,</math> Modèle:Etc.

donne successivement Modèle:MathModèle:Etc. Par exemple, le détail du calcul de Modèle:Math est :

<math>5B_4=-(1+5B_1+10B_2+10B_3)=-\left(1-\frac52+\frac{10}6\right)=-\frac16.</math>

Lien avec les polynômes de Bernoulli

Modèle:Voir Les polynômes de Bernoulli Modèle:Math sont reliés aux nombres de Bernoulli par

<math>B_m(x)=\sum_{k=0}^m{m\choose k}B_k\,x^{m-k}.</math>

Ils vérifient les relations :

• <math>B_0(X)=1</math> ;
• <math>\forall n\in\N\quad B'_{n+1}(X)=(n+1)B_n(X)</math> ;
• <math>\forall n\in\N^*\quad\int_0^1B_n(x){\rm d}x=0</math> ;
• Modèle:Math si Modèle:Math (le terme constant du polynôme de Bernoulli est égal au nombre de Bernoulli de même indice) ;
• Modèle:Math si Modèle:Math.

Les polynômes Modèle:Math sont également liés aux polynômes de Bernoulli :

<math>\forall m,n\in\N\quad S_m(n)=\frac{B_{m+1}(n)-B_{m+1}(0)}{m+1}.</math>

De

<math>B'_{n+1}=(n+1)B_n,</math>

on déduit que

<math>S'_m(X)=\frac{B'_{m+1}(X)}{m+1}=B_m(X).</math>

Par conséquent, les polynômes Modèle:Mvar sont les primitives des polynômes de Bernoulli qui s'annulent en zéro :

<math>S_m(x)=\int_0^xB_m (t){\rm d}t=\sum_{k=0}^m{m\choose k}B_k\, \frac{x^{m+1-k}}{m+1-k}.</math>

Autres conventions et notations utilisées pour définir les nombres de Bernoulli

On utilise parfois la notation Modèle:Mvar pour distinguer les nombres de Bernoulli des nombres de Bell.

La définition employée dans cet article vérifie Modèle:Math où Modèle:Math désigne le polynôme de Bernoulli.

On rencontre également la convention Modèle:Math, où Modèle:Math désigne le polynôme de Bernoulli.

Les deux conventions ne diffèrent que pour le signe de Modèle:Math ; on a :

<math>B_1(0)=-\frac12\qquad\,;\qquad B_1(1)=+\frac12.</math>

Une autre notation, utilisée en topologie<ref>Voir aussi Modèle:Serre1, Modèle:P..</ref>, est de considérer les termes pairs sans leur signe (on a Modèle:Math) :

<math>b_m=B_m(0)\qquad\, ;\,\qquad B_m=|b_{2m}|.</math>

Définition par une fonction génératrice

Les nombres de Bernoulli peuvent aussi être définis par l'intermédiaire d'une fonction génératrice. La série génératrice exponentielle associée à la suite est Modèle:Math, de telle sorte que

<math>\frac x{{\rm e}^x-1}=\sum_{n=0}^{\infin}B_n\frac{x^n}{n!}</math>

pour tout Modèle:Mvar de valeur absolue inférieure à Modèle:Math (le rayon de convergence de cette série entière).

Cette définition peut être montrée équivalente à la précédente à l'aide d'un raisonnement par récurrence : le premier terme de la série est clairement Modèle:Math (par prolongement par continuité).

Pour obtenir la relation de récurrence, on multiplie les deux côtés de l'équation par Modèle:Math. Alors, en utilisant les séries de Taylor pour la fonction exponentielle, <math>x=\left(\sum_{j=1}^{\infty}\frac{x^j}{j!}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k x^k}{k!}\right).</math>

En développant ceci en produit de Cauchy et en réarrangeant légèrement, on obtient

<math>x=\sum_{m=0}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^m{m+1\choose j}B_j\right)\frac{x^{m+1}}{(m+1)!}.</math>

Il est clair, à partir de cette dernière égalité, que les coefficients dans cette série entière satisfont la même relation de récurrence que les nombres de Bernoulli (voir paragraphe : « Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence »).

Valeurs

Les premiers nombres de Bernoulli sont les suivants :

Nombres de Bernoulli

Modèle:Mvar Modèle:Mvar Valeur décimale 0 1 1 −1 / 2 = −0,5 2 1 / 6 ≈ 0,166 7 3 0 4 −1 / 30 ≈ −0,033 3 5 0 6 1 / 42 ≈ 0,023 81 7 0 8 −1 / 30 ≈ −0,033 3 9 0 10 5 / 66 ≈ 0,075 76 11 0 12 −691 / 2 730 ≈ −0,253 1 13 0 14 7 / 6 ≈ 1,166 7 15 0 16 −3 617 / 510 ≈ −7,092 2

Modèle:Mvar Modèle:Mvar Valeur décimale 17 0 18 43 867 / 798 ≈ 54,971 2 19 0 20 −174 611 / 330 ≈ −529,124 21 0 22 854 513 / 138 ≈ 6 192,12 23 0 24 −236 364 091 / 2 730 ≈ −86 580,3 25 0 26 8 553 103 / 6 ≈ 1 425 517 27 0 28 −23 749 461 029 / 870 ≈ −27 298 231 29 0 30 8 615 841 276 005 / 14 322 ≈ 601 580 874 31 0 32 −7 709 321 041 217 / 510 ≈ −15 116 315 767 33 0

Signe des nombres de Bernoulli

À l'aide de la fonction génératrice, on peut démontrer que Modèle:Math lorsque Modèle:Mvar est impair et différent de 1, et que les signes des Modèle:Mvar alternent pour Modèle:Mvar pair. On a donc :

<math>B_{2k}=(-1)^{k-1}|B_{2k}|.</math>

Formules de récurrence

On justifie ici la définition des nombres de Bernoulli annoncée dans l'introduction. Repartons des sommes

<math>S_m(n)=\sum_{k=0}^{n-1}k^m</math>

pour tous entiers naturels Modèle:Mvar et Modèle:Mvar (en particulier, [[Somme vide|Modèle:Math]]).

On remarque que (d'après la formule du binôme après réindexation) :

<math>S_{m+1}(n+1)=\sum_{k=1}^{n}k^{m+1}=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)^{m+1}=\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{m+1}\binom {m+1}j k^j=\sum_{j=0}^{m+1}\binom {m+1}jS_j(n)=S_{m+1}(n)+\sum_{j=0}^m\binom {m+1}jS_j(n),</math>

<math>n^{m+1}=S_{m+1}(n+1)-S_{m+1}(n)=\sum_{j=0}^m\binom {m+1}jS_j(n)=(m+1)S_m(n)+\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m+1}jS_j(n)</math>

et l'on obtient finalement :

<math>\forall m,n\in\N\quad S_m(n)=\frac{n^{m+1}}{m+1}-m!\sum_{j=0}^{m-1}\frac{S_j(n)}{j!(m+1-j)!},</math>

ce qu'on peut voir comme une définition des Modèle:Math par récurrence sur Modèle:Mvar (incluant l'initialisation Modèle:Math). C'est cette approche qui permet de démontrer par récurrence que les coefficients de Modèle:Math sont bien de la forme donnée dans l'introduction : <math>S_m(n)=\sum_{i=0}^m\frac{m!}{(m+1-i)!}\frac{B_i}{i!}\,n^{m+1-i}</math>.

Pour tout Modèle:Math, notons Modèle:Mvar le coefficient de Modèle:Mvar dans Modèle:Math, <math>S_j(n)=B_j n+\sum_{k<j}c_{k,j}n^{j+1-k}</math>, et déduisons de la formule de récurrence des Modèle:Math ci-dessus, par récurrence sur Modèle:Mvar, que le coefficient Modèle:Math de Modèle:Math dans Modèle:Math est le produit de j!/(j + 1 – k)! par B_k/k! non seulement pour Modèle:Math, mais aussi pour tout entier naturel Modèle:Math (ce qui est immédiat pour Modèle:Math). En supposant la propriété vraie pour tout Modèle:Math, on trouve comme coefficient Modèle:Math de Modèle:Math dans Modèle:Math, pour Modèle:Math :

<math>c_{m,i}=-m!\sum_{{j<m,\,k\geqslant0} \atop {j+1-k=m+1-i}}{1\over j!(m+1-j)!}{j!\over(j+1-k)!}{B_k\over k!}={m!\over(m+1-i)!}\sum_{k=0}^{i-1}{-B_k\over(i+1-k)!k!}={m!\over(m+1-i)!}{B_i\over i!},</math>

la première égalité résultant de l'hypothèse de récurrence et la dernière égalité résultant du § Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence :

<math>B_i=-\frac1{i+1}\sum_{k=0}^{i-1}{i+1\choose k}B_k =-\sum_{k=0}^{i-1}\frac{i!}{(i+1- k)! k!}B_k.</math>

Les nombres de Bernoulli et la fonction zêta de Riemann

La première relation a été obtenue par Leonhard Euler<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Ed Sandifer, Modèle:LangModèle:Pdf, septembre 2005.</ref><ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} E212 — Modèle:Lang (1755), Modèle:Nobr, Modèle:Chap., traduction en anglaisModèle:Pdf par David Pengelley (2000).</ref> sous la forme suivante

<math>B_{2n}=(-1)^{n+1}\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\left[1+\frac1{2^{2n}}+\frac1{3^{2n}}+\frac1{4^{2n}}+\cdots\;\right].</math>

(On peut l'obtenir comme corollaire du calcul de la série de Fourier des polynômes de Bernoulli.)

La relation s'écrit en utilisant la fonction zêta de Riemann :

<math>B_{2n}=(-1)^{n-1}\frac {2\, (2n)!} {(2\pi)^{2n}}\;\zeta(2n),</math>

relation qui entraîne (pour Modèle:Math) :

<math>2\,\zeta(2n)=\frac{(2\pi)^{2n}} {(2n)!} \,|B_{2n}|.</math>

Fichier:BernoulliNumbersByZetaLowRes.png

Les premiers nombres de Bernoulli Modèle:Math (ordonnées des points rouges) sont donnés par la fonction Modèle:Math (courbe en bleu).

L'apparition de Modèle:Math semble montrer que les valeurs des nombres de Bernoulli ne peuvent pas être décrites simplement ; en fait, ce sont essentiellement des [[Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann|valeurs de la fonction Modèle:Math de Riemann]] pour des valeurs entières négatives de la variable, puisque

<math>\zeta(-n)=(-1)^n\frac{B_{n+1}}{n+1}</math>

et l'on sait que cette dernière est d'étude difficile (voir hypothèse de Riemann).

Il est possible d'exprimer les nombres de Bernoulli grâce à la fonction zêta de Riemann de la façon suivante :

<math>B_n = -n \zeta(1-n) \quad n > 1</math>

et

<math>B_1=\zeta(0).</math>

En particulier :

<math>\zeta(0)=B_1=-\frac12\,,\qquad\zeta(-1)=-\frac1{12},\qquad\zeta(-3)=\frac1{120},\!\qquad\zeta(-5)=-\frac1{252},\!\qquad\zeta(-7)=\frac1{240}.</math>

Comportement asymptotique de Modèle:Math

Fichier:Bernoulli numbers logarithmic growth.png

</math>, le graphe rouge (en pointillés) montre l'équivalent asymptotique <math>\textstyle\log\left(4\sqrt{\pi x}\left(\frac x{\pi{\rm e}}\right)^{2x}\right)</math>.

On a l'égalité suivante pour les nombres de Bernoulli d'indice pair :

<math>|B_{2n}|=\frac{(2n)!\zeta(2n)}{2^{2n-1}\pi^{2n}}.</math>

De la définition de la fonction zêta de Riemann, on déduit que Modèle:Math (si Modèle:Math). Par conséquent, on a l'encadrement :

<math>\frac{2\; (2n)!}{(2\pi)^{2n}}<|B_{2n}| \leqslant \frac{2\zeta (2)\; (2n)!}{(2\pi)^{2n}}.</math>

De l'inégalité <math>{\rm e}^{2n}>\frac{(2n)^{2n}}{(2n)!}</math> (si Modèle:Math), on déduit que : <math>(2n)!>\left(\frac{2n}{\rm e}\right)^{2n}</math> (si Modèle:Math) , donc :

<math>|B_{2n}|>2\left(\frac n{\pi{\rm e}}\right)^{2n}.</math>

Par conséquent :

<math>\lim_{n\to\infty}|B_{2n}|=+\infty.</math>

On a l'équivalent :

<math>B_{2n} \sim (-1)^{n-1}\frac{2\; (2n)!}{(2\pi)^{2n}}</math>.

En utilisant la formule de Stirling pour écrire un équivalent de Modèle:Math, on démontre l'équivalent quand Modèle:Mvar tend vers l'infini :

<math>\left|B_{2 n}\right|\sim4\sqrt{\pi n}\left(\frac n{\pi{\rm e}}\right)^{2n}</math>.

Applications en analyse

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans le développement en série de Taylor des fonctions tangentes (circulaire et hyperbolique), dans la formule d'Euler-Maclaurin ainsi que dans des expressions de certaines valeurs de la fonction zêta de Riemann.

Formule d'Euler-Maclaurin

Modèle:Voir Soit Modèle:Mvar un nombre réel et Modèle:Mvar un entier naturel. Si Modèle:Mvar est une application de classe <math>\mathcal{C}^k</math> (avec Modèle:Math) sur Modèle:Math.

<math>f(a)+f(a+1)+f(a+2)+\cdots +f(a+N-1)=\int_a^{a+N}f(x)\,{\rm d}x+\sum_{j=1}^kB_j\frac{f^{(j-1)}(a+N)-f^{(j-1)}(a)}{j!}+R_{k,a,N}</math>

avec

<math>R_{k,a,N}=\frac{(-1)^{k-1}}{k!}\int_a^{a+N}f^{(k)}(x)\tilde{B_k}(x-a)\,{\rm d}x</math>

où <math>\tilde{B_k}(x)</math> est la fonction périodique de période 1 égale à Modèle:Math, le polynôme de Bernoulli d'indice Modèle:Mvar, sur l'intervalle Modèle:Math.

<math>\tilde{B_k}(t)=B_k(t-\lfloor t\rfloor)</math>

où Modèle:Math désigne la partie entière de Modèle:Mvar.

Développements en série de Taylor

À partir de la fonction génératrice,

<math>\frac x{{\rm e}^x-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k\frac{x^k}{k!}=1-\dfrac x2+\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}, |x|< 2\pi</math>,

on démontre les formules suivantes<ref>Modèle:Harvsp.</ref> :

<math>1-\frac x2\;\operatorname{cotan}\frac x2=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{x^{2n}}{(2n)!},|x|<2\pi,</math>

<math>x\;\operatorname{cotan} x=1-\sum_{n=1}^\infty |B_{2n}|\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi,</math>

<math>\operatorname{cotan} x=\dfrac1x-\sum_{n=1}^\infty |B_{2n}|\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n-1},0<|x|<\pi,</math>

<math>\dfrac1{\sin x}=\dfrac1x+\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}x^{2n-1},0<|x|<\pi,</math>

<math>\tan x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1},|x|<\pi/2,</math>

<math>\dfrac2{{\rm e}^x+1}=1-\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi,</math>

<math>\dfrac12\;\dfrac{{\rm e}^x+1}{{\rm e}^x-1}=\dfrac12\,\operatorname{coth}(\frac x2)=\dfrac1x+\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{x^{2n-1}}{(2n)!}, 0<|x|<2\pi,</math>

<math>\operatorname{coth} x=\frac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^x-{\rm e}^{-x}}=\dfrac1x+\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}, 0<|x|<\pi,</math>

<math>\dfrac1{\operatorname{sh}x}=\dfrac1x-\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}x^{2n-1},0<|x|<\pi,</math>

<math>\operatorname{th} x=\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1},|x|<\pi/2.</math>

Modèle:Col-end Les nombres <math>T_n=|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{2n}</math> sont des nombres entiers appelés nombres tangents ou nombres d'Euler de deuxième espèce<ref>Alain Bouvier, Michel George et François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, PUF, 2001, Modèle:6e édition, Modèle:P..</ref>.

On a le développement suivant : <math>\operatorname{tan} x=\sum_{n=1}^\infty T_{n}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}, |x|<\pi/2.</math>

Développements en série des nombres de Bernoulli

<math>\begin{align}

|B_{2n}|&=\frac{(2n)!}{2^{2n-1}\pi^{2n}}\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^{2n}}\\ &=\frac{2(2n)!}{(2^{2n}-1)\pi^{2n}}\sum_{k=0}^\infty\frac1{(2k+1)^{2n}}\\ &=\frac{(2n)!}{(2^{2n-1}-1)\pi^{2n}}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k^{2n}}. \end{align}</math>

Propriétés arithmétiques

Les nombres de Bernoulli et les groupes de classes d'idéaux

Les propriétés de divisibilité des numérateurs des nombres de Bernoulli sont liées aux groupes des classes d'idéaux des corps cyclotomiques par un théorème de Kummer. En 1847, Kummer démontrait que le dernier théorème de Fermat était vrai pour un certain ensemble de nombres premiers appelés nombres premiers réguliers. On dit qu'un nombre premier impair est Modèle:Citation s'il ne divise pas le nombre de classes de Modèle:Math, sinon on dit que Modèle:Mvar est irrégulier. Kummer découvrit un lien avec les propriétés de divisibilité des numérateurs des nombres de Bernoulli : un nombre premier Modèle:Mvar impair est régulier si, et seulement si, Modèle:Mvar ne divise le numérateur d'aucun des nombres Modèle:Math. Le nombre premier 3 est régulier. Les premiers nombres premiers irréguliers sont : 37, 59, 67, 101, 103, 149 et 157. Si Modèle:Mvar est régulier, alors l'équation Modèle:Math n'a pas de solution entière (à part 1, 0 et 1). C'est la raison pour laquelle les nombres de Bernoulli possèdent des propriétés arithmétiques profondes.

Le théorème de Kummer a été renforcé par le théorème de Herbrand-Ribet. Les nombres de Bernoulli sont également liés aux nombres de classes des corps quadratiques par la congruence d'Ankeny-Artin-Chowla.

Liens avec la K-théorie algébrique

Il existe aussi un lien avec la K-théorie algébrique : une conséquence de la Modèle:Lien est le résultat suivant<ref>Modèle:Chapitre.</ref> :

• si Modèle:Math et Modèle:Mvar est le numérateur de Modèle:Math, alors l'ordre de Modèle:Math est Modèle:Math si Modèle:Mvar est pair (Modèle:Math), et Modèle:Math si Modèle:Mvar est impair (Modèle:Math) ;
• si Modèle:Math et Modèle:Mvar est le dénominateur de Modèle:Math, alors l'ordre de Modèle:Math est Modèle:Math si Modèle:Mvar est pair (Modèle:Math), et Modèle:Math si Modèle:Mvar est impair (Modèle:Math).

Théorème de von Staudt-Clausen

Le théorème de von Staudt-Clausen est aussi relié à la divisibilité. Il énonce ceci :

si l'on ajoute à Modèle:Mvar les inverses Modèle:Frac pour chaque nombre premier Modèle:Mvar tel que Modèle:Math divise Modèle:Mvar, on obtient, si Modèle:Math ou Modèle:Mvar est pair non nul, un nombre entier.

Ce fait permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli non entiers Modèle:Mvar comme le produit de tous les nombres premiers Modèle:Mvar tels que Modèle:Math divise Modèle:Mvar. En conséquence, si Modèle:Math est un entier non nul, le dénominateur du nombre de Bernoulli Modèle:Math est sans carré et divisible Modèle:Nobr.

Exemples

<math>B_1+\frac12=0\qquad ;\qquad B_2+\frac12+\frac13=1\qquad ;\qquad B_4+\frac12+\frac13+\frac15=1</math>

<math>B_6+\frac12+\frac13+\frac17=1\qquad ;\qquad B_{10}+\frac12+\frac13+\frac1{11}=1</math>

<math>B_{12}+\frac12+\frac13+\frac15+\frac17+\frac1{13}=1\qquad ;\qquad B_{14}+\frac12+\frac13=2\qquad ;\qquad B_{16}+\frac12+\frac13+\frac15+\frac1{17}=-6.</math>

La propriété se traduit par : Modèle:Math si Modèle:Math divise Modèle:Math. (La notation Modèle:Math signifie que Modèle:Mvar divise le numérateur de Modèle:Math mais pas son dénominateur.)

La conjecture d'Agoh-Giuga postule que Modèle:Mvar est un nombre premier si et seulement si Modèle:Math.

Continuité p-adique

Modèle:Article détaillé Une propriété de congruence, dite congruence de Kummer, spécialement importante des nombres de Bernoulli peut être caractérisée comme une propriété de continuité p-adique. Si Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des nombres entiers positifs tels que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar ne sont pas divisibles par Modèle:Math et <math>m \equiv n\, \bmod\,p^{b-1}(p-1),</math> alors

<math>(1-p^{m-1}){B_m \over m} \equiv (1-p^{n-1}){B_n \over n} \,\bmod\, p^b.</math>

(La notation Modèle:Math signifie que Modèle:Mvar divise le numérateur de Modèle:Mvar mais pas son dénominateur.)

Puisque Modèle:Math ceci peut être aussi écrit

<math>(1-p^{-u})\zeta(u) \equiv (1-p^{-v})\zeta(v)\, \bmod \,p^b</math>

où Modèle:Math et Modèle:Math, si bien que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont négatifs et non congrus à 1 mod Modèle:Math.

Ceci nous indique que la fonction zêta de Riemann avec Modèle:Math omis dans la formule du produit eulérien, est continue pour les nombres p-adiques sur les nombres entiers négatifs congrus mod Modèle:Math à un entier fixé <math>a \not\equiv 1\, \bmod\, p-1</math>, et peut donc être étendue en une fonction continue Modèle:Math sur l'anneau topologique ℤ_p des entiers p-adiques : la fonction zêta p-adique.

Utilisation en topologie

La formule de Kervaire-Milnor pour l'ordre du groupe cyclique des classes de difféomorphismes des (4n − 1)-sphères exotiques qui bordent des variétés parallélisables pour n ≥ 2 fait intervenir les nombres de Bernoulli : si Modèle:Mvar est le numérateur de Modèle:Math, alors le nombre de ces classes de difféomorphisme de sphères exotiques est

<math>2^{2n-2}(1-2^{2n-1})N_n.</math>

La formule donnée dans les articles de topologie diffère car les topologues utilisent une convention différente pour nommer les nombres de Bernoulli (ils notent Modèle:Mvar la suite 1, 1/6, 1/30…).

Formules explicites

On peut en fait également définir les Modèle:Mvar sans récurrence : utilisant les nombres de Stirling (de deuxième espèce), on a (pour n > 1)<ref>Modèle:Ouvrage (Modèle:Nobr) ; on trouvera également une démonstration de cette formule sur Wikiversité.</ref>

<math>B_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{k!}{k+1}\left\{\begin{matrix}n\\ k\end{matrix}\right\}.</math>

d'où (en utilisant les formules explicites pour les nombres de Stirling et en simplifiant)

<math>B_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{k!}{k+1}

\left(\frac1{k!}\sum_{j=1}^k(-1)^{k-j}{k\choose j}j^n\right)=\sum _{k=0}^n\frac1{k+1}\sum_{j=0}^k(-1)^j\binom kjj^n.</math>

On trouve assez souvent dans la littérature l'affirmation selon laquelle des formules explicites pour les nombres de Bernoulli n'existent pas<ref>Modèle:Article.</ref> ; les deux dernières équations montrent qu'il n'en est rien. En fait, dès 1893, Modèle:Lien recensait un total de Modèle:Nombre explicites, donnant généralement des références bien plus anciennes.

Identités remarquables

Relations de Ramanujan

Les trois relations suivantes, dues à Ramanujan, fournissent une méthode plus efficace pour le calcul des nombres de Bernoulli :

• <math>m\equiv 0\,\bmod\,6\qquad {{m+3}\choose m}B_m={{m+3}\over3}-\sum_{j=1}^{m/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j},</math>
• <math>m\equiv 2\,\bmod\,6\qquad {{m+3}\choose m}B_m={{m+3}\over3}-\sum_{j=1}^{(m-2)/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j},</math>
• <math>m\equiv 4\,\bmod\, 6\qquad{{m+3}\choose m}B_m=-{{m+3}\over6}-\sum_{j=1}^{(m-4)/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}.</math>

Une identité de Carlitz

Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des entiers strictement positifs :

<math>(-1)^m\sum_{r=0}^m{m\choose r}B_{n+r}=(-1)^n \sum_{s=0}^n{n\choose s}B_{m+s}</math><ref>Modèle:Article.</ref>.

Voir aussi

Bibliographie

John H. Conway et Richard K. Guy, Le Livre des nombres, Eyrolles, 1998 Modèle:ISBN

Articles connexes

• Congruence de Kummer
• Modèle:Lien

Liens externes

• Modèle:EncycloMath
• Les Modèle:Nombre nombres de Bernoulli sur le Projet Gutenberg
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Modèle:Lang
• Modèle:MathWorld
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Calcul et développement asymptotique des nombres de Bernoulli, par P. Luschny sur le site de l'OEIS