Nombre irrationnel

Modèle:En-tête label Modèle:Nombres irrationnels Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction Modèle:Mvar, où Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont deux entiers relatifs (avec Modèle:Mvar non nul). Les nombres irrationnels peuvent être caractérisés de manière équivalente comme étant les nombres réels dont le développement décimal n'est pas périodique<ref group=N name=Per/> ou dont le développement en fraction continue est infini.

On distingue, parmi les nombres irrationnels, deux sous-ensembles complémentaires : les nombres algébriques non rationnels et les nombres transcendants. Les nombres algébriques sont définis comme les racines des polynômes à coefficients rationnels ; cet ensemble dénombrable inclut tous les nombres rationnels, mais aussi certains irrationnels. Les nombres non algébriques, comme [[Pi|Modèle:Math]] et [[e (nombre)|Modèle:Math]], sont dits transcendants ; ils sont tous irrationnels. Cependant, certains ensembles de nombres irrationnels classiquement étudiés peuvent aussi regrouper à la fois des nombres algébriques et des nombres transcendants ; c'est par exemple le cas des nombres calculables. On conjecture également qu'il existe des nombres normaux algébriques, et on en connait qui sont transcendants.

Les premiers nombres irrationnels découverts sont les racines carrées des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, entre autres [[Racine carrée de deux|Modèle:Racine]], dont l'irrationalité a été établie dans l'Antiquité ; plus généralement les nombres constructibles irrationnels, sous-ensemble des nombres algébriques dans lequel on trouve entre autres le nombre d'or, ont une grande importance historique car ils sont liés aux problèmes de construction à la règle et au compas essentiels à la géométrie de l'époque d'Euclide.

L'irrationalité de Modèle:Math et celle de Modèle:Math ont été établies bien plus tard, au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle ; ce sont les premiers nombres transcendants dont on a prouvé l'irrationalité. Il a de plus été montré au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle que presque tous les nombres réels sont irrationnels, et même transcendants. En 2018, on ignore le statut de plusieurs constantes importantes telle que la constante d'Euler-Mascheroni.

Histoire

Les travaux antiques les plus connus concernant les irrationnels ont été produits dans le monde grec<ref>Certains historiens ont estimé que les Śulba-Sūtras, des traités difficiles à dater qui auraient été composés entre 800 et Modèle:Nobr, témoigneraient de la connaissance de l'irrationalité dans l'Inde de l'époque ; ils se fondent sur une construction de la diagonale du carré qui peut s'interpréter comme une (bonne) approximation rationnelle de √2, et sur la mention que cette construction n'est pas exacte, voir Modèle:Ouvrage. Mais pour d'autres, il s'agit là de « spéculations injustifiées » qui ignorent tant la vraie signification de l'irrationalité que l'objet pratique des Śulba-Sūtras Modèle:Chapitre.</ref>.

Antiquité grecque

L'historiographie a longtemps décomposé l'étude de l'irrationalité en trois grandes étapes : la découverte, sans doute par un pythagoricien<ref>Modèle:Harvsp.</ref>, d'un cas particulier de grandeurs non commensurables, puis l'établissement de l'irrationalité de quelques exemples analogues et enfin, l'étude systématique de celle-ci, notamment par Euclide. Il n'est cependant pas aisé de reconstituer l'enchaînement précis des différentes phases, car tous les textes de l'époque ne sont pas connus et ceux qui le sont ont fait l'objet de controverses, concernant notamment leur interprétation.

Vocabulaire employé

L'une des difficultés de l'étude des textes antiques traitant d'irrationalité réside dans le fait que les termes employés pour ce faire ainsi que leur sens varient selon les époques, et que certains peuvent apparaître conjointement dans un même texte. En grec ancien, le concept d'irrationalité peut ainsi être représenté par les mots suivants<ref name="Szabo93">Modèle:Harvsp.</ref> :

• Modèle:Grec ancien : inexprimable ;
• Modèle:Grec ancien : incommensurable, ce terme pouvant être précisé :
  • Modèle:Grec ancien : incommensurable en longueur ;
  • Modèle:Grec ancien : commensurable en carré ;
• Modèle:Grec ancien : littéralement qui ne peut former de rapport ; c'est le plus proche du terme moderne irrationnel.

De tous ces termes, seul Modèle:Grec ancien n'apparaît pas dans le Modèle:Lnobr rom des Éléments d'Euclide<ref name="Szabo93"/>. En revanche, le mot Modèle:Grec ancien (qui d'un point de vue strictement lexical est le contraire du mot Modèle:Grec ancien) est employé comme le contraire du mot Modèle:Grec ancien signifiant irrationnel ; sa définition inclut cependant le concept Modèle:Grec ancien (commensurable en carré)<ref>Modèle:Ouvrage, définition 3.</ref> : le nombre Modèle:Racine serait donc « rationnel » selon cette définition, ce qui n'est pas le cas dans des textes plus anciens comme ceux de Platon<ref name="Szabo93"/>. Il y a donc eu un glissement de sens entre les époques des deux auteurs, et la notion moderne d'irrationalité ne se superpose pas parfaitement à celle d'Euclide. De plus, il n'existe pas pour les Grecs de nombre irrationnel, mais des couples de grandeurs telles que la première n'est pas un multiple rationnel de la seconde<ref>Modèle:PlaLoi, VII, 820 a - c.</ref>.

La compréhension des textes est rendue difficile également par l'utilisation de termes techniques traduisant des concepts n'ayant pas d'équivalent dans les langues actuelles. Par exemple, le nom Modèle:Grec ancien signifie « puissance » dans la langue courante, mais cette acception n'a pas de sens dans les textes mathématiques antiques. Il a souvent été traduit par « racine carrée » en raison du contexte dans lequel il est employé. Cependant, son sens véritable, probablement emprunté à la finance où il exprime la valeur d'une monnaie, est plutôt la désignation d'un carré dont l'aire est égale à celle d'une surface déjà identifiée<ref name="Szabo93"/> ; ainsi, le Modèle:Grec ancien d'un rectangle de longueur Modèle:Math et de largeur Modèle:Math est un carré d'aire Modèle:Math. Ce terme, attesté dès l'époque d'Hippocrate de Chios, a introduit de nombreux contresens dans l'interprétation de plusieurs textes, dont le Théétète de Platon<ref name="Szabo93"/>.

Découverte des irrationnels

La date à laquelle la notion d'irrationalité a été découverte par les Grecs n'est pas connue avec certitude : elle est généralement située entre le début du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle Modèle:Av JCModèle:Vérification siècle et le premier quart du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle Modèle:Av JCModèle:Vérification siècle<ref name="Szabo93"/>. Elle est en tout cas antérieure au livre de Démocrite des Nombres irrationnels et des Solides, qui date de cette période.

Contrairement à une idée reçue, rien n'indique avec certitude que la découverte de l'incommensurabilité provienne de l'étude de la diagonale et de l'un des côtés d'un carré<ref>Modèle:Article.</ref>, propriété équivalente à l'irrationalité de Modèle:Racine. La découverte est parfois attribuée au mathématicien Hippase de Métaponte pour ses travaux sur la section d'extrême et de moyenne raison, maintenant appelée nombre d'or, qui est également le rapport de la longueur de la diagonale d'un pentagone régulier sur celle d'un de ses côtés<ref>Modèle:Article.</ref>. Il est également possible que la notion d'irrationalité ait été mise à jour par l'étude du problème arithmétique de la recherche d'un entier qui soit à la fois un carré parfait et le double d'un autre carré parfait<ref name="Szabo93" /> ; l'insolubilité de ce problème est en effet équivalente à l'irrationalité de Modèle:Racine. Si la découverte en elle-même reste entourée de mystère, l'exemple le plus connu chez les intellectuels de l'époque de Platon est celui de l'incommensurabilité de la diagonale et du côté d'un carré<ref name="Szabo93" />.

La nature exacte des premières grandeurs non commensurables découvertes n'est pas connue, et la manière dont cette non-commensurabilité a été établie ne l'est pas plus et plusieurs idées de démonstration ont été imaginées. L'une d'elles repose sur le principe du pair et de l'impair<ref>Modèle:Article.</ref><ref>Modèle:Chapitre.</ref>, elle est notamment citée par Aristote<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>. D'autres reconstitutions des preuves antiques sont envisagées : certaines ont recours à une descente infinie, d'autres à un algorithme qu'en termes modernes on apparenterait aux fractions continues. Cette dernière technique serait héritée des cultures de Mésopotamie<ref>Voir, pour un exposé des différentes méthodes possibles : Modèle:Harvsp.</ref>.

Étude ultérieure des irrationnels

À la suite de la découverte d'un cas particulier d'irrationalité, il y a longtemps eu consensus pour affirmer que l'étude des grandeurs incommensurables s'était poursuivie par l'établissement par Théodore de Cyrène d'autres exemples se ramenant aux nombres Modèle:Racine (pour Modèle:Mvar entier non carré compris entre Modèle:Math et Modèle:Math)<ref>Modèle:Citation étrangère — Modèle:Ouvrage, citant Modèle:Ouvrage.</ref>. Cette supposition a donné lieu à des recherches concernant la méthode utilisée pour ce faire, et les raisons qui ont empêché Théodore de Cyrène d'aller plus loin que Modèle:Racine<ref name="HardyWright4"/> ; il est cependant probable qu'elle soit erronée<ref name="Szabo93"/>. En effet, elle résulte d'un passage du Théétète, mais le texte de Platon ne mentionne pas de démonstration et n'indique donc pas que Théodore en aurait produit une<ref name="Szabo93"/>. Une autre hypothèse est que les premières preuves d'irrationalité reposent essentiellement sur la notion de parité, ce qui ne permet pas de montrer l'irrationalité de Modèle:Racine<ref>Modèle:Article.</ref>.

Il est difficile, en l'état actuel des connaissances, de proposer une chronologie précise des débuts de l'étude grecque de l'incommensurabilité<ref name="Szabo93"/>. Le livre X des Éléments, écrit vers -300, présente une classification des grandeurs irrationnelles ; on ne sait cependant pas de quand datent les propositions qui y sont démontrées, les textes mathématiques antérieurs étant perdus<ref name="Szabo93"/>.

Par la suite, les mathématiciens grecs ont développé des méthodes d'évaluation de grandeurs incommensurables. Archimède a notamment utilisé la méthode d'exhaustion pour donner une estimation de Modèle:Math et Héron d'Alexandrie expose une méthode pour évaluer une racine carrée<ref group = N>Ces propriétés sont énoncées ici avec une formulation moderne, ni Modèle:Math ni les racines carrées n'étant considérés comme des nombres à proprement parler dans l'Antiquité grecque.</ref>.

Débat sur l'existence antique d'une « crise des fondements »

Une légende, plusieurs fois rapportée, indique qu'un pythagoricien, parfois nommé Hippase de Métaponte, périt noyé (jeté à la mer depuis une barque) pour avoir révélé aux profanes l'incommensurabilité<ref>Modèle:Lien web, transcription d’une conférence donnée le Modèle:Date- à Grenoble, Modèle:P..</ref>. Cette légende indiquerait que la découverte serait bien pythagoricienne et qu'elle aurait fait l'objet d'un tabou<ref>Sous la forme indiquée ici, la légende est critiquée. Le narrateur principal, Jamblique, est à la fois tardif et imprécis dans ses témoignages. La référence suivante précise que : Modèle:Citation étrangère, cf. Modèle:Ouvrage.</ref> ; elle est souvent citée pour accréditer la thèse selon laquelle l'irrationalité aurait posé un problème fondamental aux mathématiciens antiques.

L'existence d'une crise profonde chez les mathématiciens et les philosophes grecs due à la découverte de l'irrationalité a été longtemps admise par les historiens<ref>Modèle:Harvsp.</ref>, et ce dès les travaux de Paul Tannery en 1887<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>, et plus encore dans les premières décennies du Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle<ref name="Knorr">Modèle:Article.</ref>. D'autres historiens ont par la suite émis l'hypothèse que la crise engendrée par les irrationnels était plutôt une reconstruction a posteriori par laquelle les mathématiciens du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle auraient calqué leur crise des fondements sur l'Antiquité, en jugeant les travaux mathématiques grecs à l'aune de concepts mathématiques modernes. Des recherches menées dans la seconde moitié du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle ont ainsi battu en brèche le concept de Modèle:Citation<ref>Modèle:Article.</ref>.

Moyen-Orient médiéval

Le Moyen Âge voit le développement de l'algèbre au sein des mathématiques arabes, ce qui permet aux nombres irrationnels de devenir des objets de même nature algébrique que les entiers et les nombres rationnels<ref>Modèle:MacTutor.</ref>. Les mathématiciens du monde arabo-musulman cessent en effet, contrairement à ceux du monde grec qui les ont précédés, de ne manipuler des grandeurs géométriques que par leurs rapports<ref name="Matvievskaya-259">Modèle:Article.</ref>. Dans son commentaire du livre X des Éléments, le mathématicien persan Al-Mahani étudie et classifie les irrationnels quadratiques et cubiques, en les considérant comme des nombres à part entière bien qu'il utilise également un point de vue géométrique pour les désigner<ref name="Matvievskaya-259"/>. Il donne en outre une approche algébrique des irrationnels, en expliquant que si l'on additionne ou multiplie un rationnel et un irrationnel, le résultat est irrationnel<ref name="Matvievskaya-259"/>.

Le mathématicien égyptien Abū Kāmil Shujā ibn Aslam est le premier à accepter qu'un nombre irrationnel représenté par une racine carrée, cubique ou Racine n-ième puisse être solution d'une équation quadratique ou qu'il soit un coefficient d'une équation<ref>Modèle:Chapitre.</ref>.

Les mathématiciens arabes ont aussi repris et perfectionné des méthodes d'approximation numérique ; les Modèle:Nobr décimales de [[Pi|Modèle:Math]] sont par exemple trouvées par Al-Kashi grâce à des méthodes géométriques<ref>Modèle:Article.</ref>.

Époque moderne

Débats sur la nature des nombres irrationnels

Modèle:Encadré texte Au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, la communauté mathématique accueille les fractions. Au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, les mathématiciens emploient de plus en plus fréquemment les fractions décimales et représentent déjà ces nombres avec la notation moderne. La notation décimale permet des calculs numériques sur les nombres irrationnels<ref name="Cousquer"/>. Pourtant bien que ceux-ci soient utilisés couramment, le débat sur leur nature n'est pas tranché. Simon Stevin et Isaac Newton considèrent que les irrationnels, appelés à l'époque Modèle:Citation, sont des nombres au même titre que les entiers et les rationnels<ref name="Cousquer">Modèle:Harvsp.</ref> tandis que d'autres comme Blaise Pascal conservent le cadre fourni par les Éléments d'Euclide, dans lequel les irrationnels ne sont pas des nombres<ref name="Cousquer"/>. Dans l'Encyclopédie, D'Alembert rend compte des deux positions et prend parti pour l'idée selon laquelle les irrationnels ne sont pas des nombres, mais qu'ils sont approchables par ceux-ci avec une précision aussi fine que l'on veut<ref name="Cousquer"/><ref>Modèle:Ouvrage.</ref><ref>Modèle:Ouvrage.</ref>. Abraham Kästner propose par la suite d'expliquer les propriétés algébriques des nombres irrationnels par celles des rationnels, qu'il peut étendre grâce à la densité des rationnels dans les irrationnels<ref name="Cousquer"/>.

Méthodes d'approximation numérique

Isaac Newton met au point à la fin du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle un algorithme permettant le calcul numérique de racines de polynômes, a priori irrationnelles<ref group = N>Les nombres rationnels potentiellement racine d'un polynôme donné sont en nombre fini, et ne nécessitent pas de calcul approché pour être identifiés Modèle:Infra.</ref>. Cet algorithme, connu depuis sous le nom de méthode de Newton, a ensuite été adapté pour calculer les zéros de fonctions non polynomiales.

Dans le cas particulier du nombre Modèle:Math, John Machin publie en 1706 une formule donnant Modèle:Math à l'aide de la fonction arc tangente :

<math>\frac{\pi}4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}</math>.

Une amélioration de cette formule par Jurij Vega lui permet en 1789 de calculer Modèle:Math avec une précision de Modèle:Nobr<ref group=N>Voir l'article « Formule de Machin » pour plus de détails.</ref>. D'autres formules permettant d'exprimer <math>\pi</math> ont été exhibées au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, notamment la résolution par Euler du problème de Bâle qui donne une identité, peu utile pour un calcul pratique, reliant Modèle:Math et la série des inverses des carrés des entiers<ref>Modèle:Article.</ref> :

<math>\sum_{n=1}^\infin \frac1{n^2} = \frac1{1^2} + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \frac1{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}6</math>.

Un autre exemple d'identité, lui aussi peu utile pour un calcul pratique, permettant le calcul numérique de Modèle:Math est fourni par la formule de Leibniz, découverte en Europe au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, mais qui était déjà connue de manière indépendante en Inde depuis deux siècles par l'école du Kerala<ref group=N>Voir l'article « Formule de Leibniz » pour plus de détails.</ref> :

<math>

\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac11-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots=\frac\pi4

</math>.

Des approximations d'autres constantes mathématiques sont publiées, notamment pour la [[Constante d'Euler-Mascheroni|constante Modèle:Math d'Euler]] : celui-ci en calcule 16 décimales dès 1781 en utilisant la formule d'Euler-Maclaurin<ref name="Demailly">Modèle:Article.</ref><ref group = N name = "gamma">En fait il n'est pas prouvé que la constante γ d'Euler est irrationnelle, mais des calculs numériques poussés laissent penser que c'est bien le cas Modèle:Infra.</ref>.

Découverte de nouveaux nombres irrationnels

Les fractions continues (dues à Cataldi en 1613<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>), étroitement liées aux nombres irrationnels, sont prises en considération par Euler, qui montre ainsi<ref name=IrrationalitéE group=N>Voir la section « Exemple : le nombre e » de l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ».</ref> notamment, en 1737, l'irrationalité de Modèle:Math et de Modèle:Math<ref name=Maor>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Lambert démontre en 1761 que Modèle:Math n'est pas rationnel. Pour cela, il montre que la tangente et la tangente hyperbolique de tout rationnel non nul sont des irrationnels<ref name=Maor/>, en les approchant par des suites de rationnels issues de fractions continues généralisées particulières<ref name=IrrationalitéPi group=N>Voir la section « Irrationalité » de l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ».</ref>. Il conjecture par la suite la transcendance de Modèle:Math et Modèle:Math, mais ne remarque pas que sa méthode fournit une démonstration que Modèle:Math est lui aussi irrationnel<ref group="N">Ce résultat a pour conséquence l'irrationalité de la somme <math>\sum_{n=1}^\infin \frac1{n^2}</math> calculée par Euler 30 ans plus tôt, et que l'on note aujourd'hui Modèle:Math.</ref>. Cette constatation est faite plus tard par Legendre<ref>Modèle:Ouvrage.</ref><ref>Voir cependant Modèle:Chapitre.</ref>. Lambert montre également que l'exponentielle et le logarithme de tout rationnel non nul (et également différent de 1 dans le cas du logarithme) est un irrationnel<ref name="Cousquer"/>.

Époque contemporaine

Définition rigoureuse des nombres réels

Modèle:Article détaillé Jusqu'au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, l'existence et les propriétés des nombres irrationnels sont admises sans qu'en soit proposée de définition rigoureuse. En effet — contrairement aux rationnels, qu'il est facile de construire algébriquement à partir des entiers — la notion de nombre réel est encore mal définie au début de la seconde moitié du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle. L'une des premières tentatives en ce sens remonte aux travaux de Bernard Bolzano dans la première moitié du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, mais ces travaux sont peu diffusés et n'influencent guère les constructions ultérieures<ref name="Boniface"/>. Karl Weierstrass travaille également sur la formalisation des nombres réels comme limites de rationnels, mais il ne publie rien à ce sujet et cette partie de son œuvre n'est connue que par les notes prises par son étudiant Adolf Hurwitz ayant suivi ses cours ; notes qui ne sont cependant pas publiées avant les années 1880<ref name="Boniface"/>.

Deux types de construction rigoureuse des nombres réels ont été présentées dans les années 1870 :

• Méray, puis Cantor et Heine après lui, fondent leur construction sur des propriétés analytiques des suites de rationnels<ref name="Boniface">Modèle:Harvsp.</ref> ; les nombres réels y sont les classes d'équivalence des suites de Cauchy de rationnels par la relation d'équivalence telle que deux suites sont en relation si et seulement si leur différence tend vers Modèle:Math. Cette approche revient intuitivement à définir les réels comme les limites de suites de Cauchy rationnelles. On construit ainsi <math>\R</math> comme un espace complet ;
• l'approche de Dedekind, poursuivie par Tannery et Kronecker<ref>Modèle:Article.</ref>, se fonde elle aussi sur la théorie des ensembles. Un réel y est défini comme une coupure de Dedekind, correspondant intuitivement à l'ensemble des rationnels qui le minorent strictement : ainsi, Modèle:Racine correspond à l'ensemble des rationnels négatifs ou de carré inférieur à 2.

Ces deux approches sont équivalentes<ref group=N>Voir l'article détaillé « Construction des nombres réels ».</ref>.

Étude de sous-ensembles particuliers d'irrationnels

Plusieurs sous-ensembles particuliers de nombres irrationnels sont étudiés durant les {{#switch: XX

 | e | er | = 
   {{#switch: XX

 | e | er | = 
   Modèle:S mini-{{#ifeq: et|-| – | et }}Modèle:S mini- siècles

 | 
   Modèle:S mini-{{#ifeq: XX|-| – | XX }}Modèle:S mini- siècle{{{3}}}

}}

 | 
   {{#switch: et

 | e | er | = 
   Modèle:S mini-{{#ifeq: XX|-| – | XX }}Modèle:S mini- siècle

 | 
   Modèle:S mini-{{#ifeq: et|-| – | et }}Modèle:S mini- siècles

}}

}}. Il était connu depuis l'Antiquité que certains nombres irrationnels tels que Modèle:Racine sont constructibles, mais ce n'est qu'au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle que Wantzel caractérise l'ensemble des nombres constructibles<ref group=N name=TheoWantzel>Voir l'article « Théorème de Wantzel ».</ref>, qui est le plus petit corps stable par la racine carrée contenant <math>\Q</math>. Cela permet de montrer<ref group=N name=TheoWantzel/> que les problèmes antiques de trisection de l'angle et de duplication du cube sont impossibles à l'aide de la règle et du compas seuls.

À la même période sont aussi étudiés les nombres transcendants, dont les premiers exemples sont exhibés par Liouville en 1844<ref group = N>L'existence même de nombres transcendants n'était cependant pas certaine pour les mathématiciens de l'époque.</ref><ref name=Liouville group=N>Voir l'article « Nombre de Liouville ».</ref>. Hermite montre en 1873 la transcendance de Modèle:Math<ref group=N name="transcendencePi+e"/> et en 1882, Lindemann montre celle de Modèle:Math<ref group=N name="transcendencePi+e">Voir l'article « Théorème d'Hermite-Lindemann ».</ref>. Ce dernier résultat permet de répondre par la négative<ref group=N name=TheoWantzel/> au problème de la quadrature du cercle, qui était ouvert depuis l'Antiquité grecque. Les nombres transcendants sont par ailleurs l'objet du septième problème de Hilbert, qui demande si le nombre Modèle:Mvar est transcendant dès que Modèle:Mvar est algébrique et différent de Modèle:Math ou Modèle:Math et que Modèle:Mvar est algébrique et irrationnel. La réponse, affirmative, est apportée en 1934 par le théorème de Gelfond-Schneider.

Le Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle voit également l'étude des nombres univers qui contiennent l'ensemble des séquences de chiffres possibles dans leur développement décimal, ainsi que des nombres normaux qui sont des nombres univers particuliers dans le développement décimal desquels toutes les séquences de chiffres d'une longueur donnée sont équiprobables. Bien que Borel ait prouvé en 1909 que presque tous les nombres irrationnels sont normaux en toute base<ref group=N name=normal/>, on connaît peu de nombres normaux. Parmi ceux dont la normalité a été établie au moins pour la Modèle:Nobr, on peut citer la constante de Champernowne (qui est même transcendante), ou celle de Copeland-Erdős. De plus il est conjecturé que les nombres Modèle:Racine (et même tous les nombres algébriques irrationnels<ref name="BaileyCrandall"/>), Modèle:Math et Modèle:Math sont normaux mais bien que cela semble vrai expérimentalement<ref name="BaileyCrandall">Modèle:Article.</ref>, cela n'a pu être démontré pour aucun de ces exemples.

Le développement de l'informatique théorique dans les années 1930 a, parallèlement à cela, mené à l'étude des nombres calculables, c'est-à-dire pour lesquels il existe une machine de Turing capable d'en énumérer les décimales ainsi que de quantifier l'erreur d'approximation. L'ensemble des réels calculables contient l'algèbre des périodes, donc tous les nombres algébriques et Modèle:Math, et il est stable par l'exponentielle. En particulier, tous les nombres non calculables sont transcendants et a fortiori irrationnels. Bien que l'ensemble des réels non calculables soit codénombrable, on connait peu de nombres qui en fassent partie. Parmi ceux-ci on trouve par exemple toute limite d'une suite de Specker, dont la définition est liée au problème de l'arrêt.

Informatique et calcul numérique

Fichier:William Shanks PI.png

Première approximation de Modèle:Math calculée par William Shanks en 1853, incluant les décimales incorrectes.

Fichier:Record pi approximations fr.svg

Graphique montrant l'évolution historique de la précision record des approximations numériques de Modèle:Math, mesurée en décimales (représentée sur une échelle logarithmique).

Avant l'essor de l'informatique à la fin des années 1940, il était extrêmement laborieux de calculer effectivement plus de quelques centaines de décimales d'un nombre irrationnel donné. En 1940, on ne connaissait par exemple que 527 décimales exactes de Modèle:Math, grâce au travail de William Shanks publié en 1873<ref name="PoursuitePi">Modèle:Ouvrage.</ref><ref group = N>Shanks donnait en fait 707 décimales mais son calcul, effectué à la main, était faux au-delà de la Modèle:528e.</ref>. En 1949, l'ordinateur ENIAC en donne 2 037 en Modèle:Unité, en utilisant la formule de Machin<ref name="PoursuitePi"/>.

Des algorithmes génériques sont développés, comme la transformée de Fourier rapide qui accélère le calcul des multiplications<ref name="PoursuitePi"/>. Dans le même temps, la puissance de calcul des ordinateurs augmente de manière exponentielle. Ainsi en 1978, on connaissait déjà Modèle:Nombre de Modèle:Math<ref name="wozniak198106">Modèle:Article.</ref> et en 2000, plus de 10¹² décimales de Modèle:Math<ref name="PoursuitePi"/> et plus d'un million de décimales de la [[Constante d'Euler-Mascheroni|constante Modèle:Math d'Euler]]<ref>Modèle:Lien web.</ref> étaient calculées<ref group = N name = "gamma"/>.

Des algorithmes spécifiques sont également conçus pour le calcul de certains nombres en particulier. Dans le cas de Modèle:Math, les premiers algorithmes utilisant des formules proches de la formule de Machin sont ainsi abandonnés au profit d'autres formules plus efficaces, comme celle obtenue par Ramanujan en 1914<ref name="PoursuitePi"/> :

<math> \frac1{\pi} = \frac{2\sqrt 2}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}</math>.

Les premiers calculs d'approximations de nombres irrationnels donnaient toutes les décimales de la première jusqu'à une borne plus ou moins élevée, mais on ne savait pas calculer une décimale donnée sans connaître celles qui la précèdent<ref name="PoursuitePi"/>. En 1995, les mathématiciens Simon Plouffe, David H. Bailey et Peter Borwein découvrent la formule BBP, qui permet de calculer tout chiffre du développement de Modèle:Math en base 16 sans avoir à déterminer ceux qui précèdent<ref name="PoursuitePi"/><ref group=N>Aucune formule analogue pour la base dix n'est connue en 2017.</ref>. Avant de découvrir cette formule, ils avaient déjà établi qu'il est possible de calculer séparément tout chiffre du développement binaire du logarithme de Modèle:Math grâce à l'égalité<ref name="PoursuitePi"/> :

<math>\ln2= \sum^\infty_{n=1} \frac1{n2^n}</math>.

Propriétés des nombres irrationnels

Développement décimal

Modèle:Article détaillé La caractérisation des irrationnels peut s'effectuer via leur développement décimal, grâce au théorème suivant<ref name="HardyWright9">Modèle:Harvsp.</ref>, démontré dans l'article détaillé : Modèle:Théorème On démontre de même la caractérisation analogue via le développement dans n'importe quelle base (entière et supérieure ou égale à 2).

Ainsi le calcul du développement d'un nombre rationnel est aisé puisqu'il n'y a qu'un nombre limité de chiffres à calculer pour le caractériser complètement, tandis que le calcul des développements de nombres irrationnels nécessite généralement la mise en œuvre de techniques mathématiques d'autant plus avancées que la précision souhaitée est élevée Modèle:Supra.

Développement en fraction continue

Modèle:Article détaillé Les fractions continues permettent entre autres de caractériser l'irrationalité, d'identifier des types particuliers d'irrationnels, et de fournir de bonnes approximations des irrationnels par des rationnels.

Caractérisation de l'irrationalité à l'aide du développement en fraction continue

Pour tout nombre réel <math>x</math>, le caractère fini ou infini de son développement en fraction continue peut être lié à son caractère rationnel ou irrationnel. Plus précisément<ref name="HardyWright10">Modèle:Harvsp.</ref> : Modèle:Théorème

Cas des irrationnels quadratiques

Modèle:Article détaillé Un irrationnel est dit quadratique s'il est solution d'une équation du second degré à coefficients entiers. Modèle:Théorème

Application à l'approximation des irrationnels

La suite des réduites du développement en fraction continue d'un irrationnel <math>x</math> converge vers <math>x</math> « rapidement » : toute réduite <math>p/q</math> du développement vérifie <math>\left|x-p/q\right|<1/q^2</math><ref name="HardyWright10"/>.

Par exemple, le début du [[Pi#Fractions continues|développement en fraction continue de Modèle:Math]] est [3, 7, 15, 1, 292, …]. À partir de ce début de développement, on trouve comme [[Pi#Approximations numériques|approximation de Modèle:Math]] : <math>\pi \approx \frac{103\;993}{33\;102} \approx 3{,}14159265301</math> avec une erreur inférieure à <math>\frac1{33\;102^2} < 10^{-9} </math>, c'est-à-dire que l'on a au moins 9 décimales exactes.

Il est possible de comparer la précision obtenue en approchant un irrationnel par les premiers termes de son développement en fraction continue ou par les premiers chiffres de son développement décimal. En effet pour presque tout irrationnel <math>x</math>, le théorème de Lochs affirme que les <math>m</math> premiers entiers du développement en fraction continue de <math>x</math> donnent asymptotiquement <math>\frac { \pi^2}{6 \ln 2 \ln 10} m\approx 1{,}03064083 m</math> décimales exactes.

Mesure d'irrationalité

Caractérisation des irrationnels

L'ensemble des nombres rationnels est dense dans celui des réels. Par conséquent, pour tout nombre réel <math>x</math>, rationnel ou irrationnel, il existe une suite de nombres rationnels qui converge vers <math>x</math>. Cependant, tous les réels ne sont pas aussi facilement approchables les uns que les autres. On peut ainsi définir la mesure d'irrationalité de n'importe quel réel <math>x</math>. Il s'agit de la borne supérieure de l'ensemble des réels Modèle:Math pour lesquels il existe une infinité de couples <math>(p, q)</math> d'entiers tels que <math>q > 0</math> et <math> 0 <\left|x-p/q\right|<1/q^\mu</math>. Grossièrement, cela signifie que si un réel <math>x</math> a une mesure d'irrationalité supérieure à celle d'un réel <math>x'</math> alors, à dénominateur égal, il est possible d'approcher <math>x</math> plus finement que <math>x'</math> avec un nombre rationnel.

Le théorème suivant permet de différencier un rationnel d'un irrationnel par leur mesure d'irrationalité<ref name="HardyWright11">Modèle:Harvsp.</ref><ref name=bugeaud>Modèle:Ouvrage, théorème E.2.</ref> :

Modèle:Théorème</math> et que la constante Modèle:Racine est optimale : avec n'importe quelle constante plus grande, le théorème est faux pour certains nombres, par exemple le nombre d'or. Pour plus de détails, voir l'article sur le spectre de Lagrange.</ref>. |style=display:table}}

On peut renforcer le second point du théorème : si un réel <math>x</math> est irrationnel, l'existence d'une infinité de couples <math>(p, q)</math> d'entiers tels que <math>q>0</math> et <math>\left|x-p/q\right|<1/q^\mu</math> est garantie non seulement pour tout <math>\mu<2</math>, mais même pour <math>\mu=2</math>. Cela se déduit par exemple de l'approximation d'un irrationnel par la suite infinie des réduites de sa fraction continue Modèle:Supra, ou du théorème d'approximation de Dirichlet.

Ces théorèmes servent de base à divers résultats permettant de montrer, sous certaines hypothèses, l'irrationalité de la somme d'une série dont le terme général est rationnel et qui converge suffisamment rapidement<ref>Modèle:Article.</ref>.

Valeurs particulières de mesure d'irrationalité

Tout irrationnel <math>x</math> a une mesure <math>\mu(x)</math> supérieure ou égale à 2 ; elle vaut même exactement 2 pour presque tout réel<ref name=Liouville group=N/>. Il n'est cependant pas toujours aisé de la calculer précisément. Elle est tout de même parfois connue ou au moins estimée :

• pour tout nombre irrationnel algébrique <math>\alpha</math>, <math>\mu(\alpha)</math> est fini d'après le théorème de Liouville, et même égal à <math>2</math> d'après le théorème de Roth ;
• les nombres de Liouville, de mesure infinie par définition, sont les premiers nombres transcendants à avoir été exhibés ;
• <math>\mu(\mathrm e) = 2</math> ;
• <math>2\le\mu(\pi) < 7{,}11</math><ref name = "zeilberger">Modèle:Article.</ref>;
• <math>2\le\mu\left(\zeta(3)\right) < 5{,}52</math><ref>Modèle:Article.</ref>, où <math>\zeta(3)</math> désigne la constante d'Apéry Modèle:Infra.
• <math>\mu\left(C_{10}\right) = 10</math><ref>Modèle:Article.</ref><ref group="N">Plus généralement, les nombres analogues à la constante de Champernowne en base <math>b</math> quelconque à une mesure d'irrationalité égale à <math>b</math>.</ref> où <math>C_{10}</math> désigne la constante de Champernowne Modèle:Infra.

Exemples d'applications

• La mesure d'irrationalité peut être utilisée pour montrer l'irrationalité de certains nombres comme la constante d'Apéry Modèle:Infra ou de la somme de la série des inverses des nombres de Fibonacci Modèle:Infra ;
• En exploitant le fait que <math>\textstyle{\pi}</math> est irrationnel Modèle:Infra et donc a une mesure d'irrationalité supérieure à 2, on peut montrer que le terme général de la série <math>\sum_{n\in \mathbb{N^*}}\frac{1}{n^2\sin^2n}</math> ne tend pas vers 0 et donc que celle-ci diverge<ref>Modèle:Ouvrage, problème Modèle:N°.</ref>;
• La nature, convergente ou divergente, de la série <math>\sum_{n\in \mathbb{N^*}}\frac{1}{n^3\sin^2n}</math> n'est pas connue en 2023, mais si elle converge cela impliquerait que la mesure d'irrationalité de <math>\textstyle{\pi}</math> est inférieure ou égale à 2,5<ref>Modèle:Lien web.</ref>.

Approximations simultanées

La mesure d'irrationalité de tout nombre irrationnel est supérieure ou égale à 2 Modèle:Supra. Par conséquent si l'on se donne un nombre <math>\varepsilon > 0</math> et un nombre irrationnel <math>\xi</math>, il est possible de trouver un entier <math>q</math> tel que le produit <math>q\xi</math> soit à une distance inférieure à <math>\varepsilon</math> d'un entier<ref group="N">Par exemple on détermine un entier <math>q_1 \in \mathbb{N}</math> tel que <math>\frac 1{q_1} < \varepsilon</math>, il existe alors deux entiers <math>q > q_1</math> et <math>p</math> tels que <math>\left| \xi - \frac pq \right| < \frac 1{q^2}</math> et donc <math>|q\xi - p| < \frac 1q < \frac 1{q_1} <\varepsilon</math> d'où le résultat.</ref>.

On peut en fait trouver un tel entier <math>q</math> même si l'on se donne un nombre <math>n</math> arbitraire d'irrationnels <math>\xi_1, \dots, \xi_n</math> quelconques à approcher d'un entier avec une erreur arbitrairement petite<ref name="HardyWright11"/>: Modèle:Théorème

Il est possible, avec quelques restrictions, d'étendre ce résultat à l'approximation de nombres quelconques<ref name="HardyWright23">Modèle:Harvsp.</ref> : Modèle:Théorème

Propriétés de l'ensemble des irrationnels

Propriétés de clôture

L'ensemble ℚ a une structure de corps commutatif, cela permet de déduire des résultats généraux sur l'irrationalité de sommes et de produits impliquant à la fois rationnels et irrationnels. L'ensemble des irrationnels vérifie par exemple la propriété de clôture suivante : si le carré (ou plus généralement, une puissance entière) d'un réel est un irrationnel, alors ce réel lui-même est irrationnel (par contraposée de la proposition selon laquelle tout produit de rationnels est rationnel). Cela permet, connaissant un nombre irrationnel, d'en construire une infinité d'autres.

On peut aussi, sachant que pour tout nombre irrationnel <math>\alpha</math> et tout rationnel <math>r\ne0</math>, les nombres <math>\alpha+r</math> et <math>\frac r\alpha</math> sont irrationnels<ref name="Niven61">Modèle:Harvsp, Modèle:P..</ref>, faire agir le groupe projectif linéaire <math>\operatorname{PGL}(2,\Q)</math> (ou <math>\operatorname{PGL}(2,\Z)</math><ref group="N">En restreignant l'action à <math>\operatorname{PSL}(2,\Z)</math>, on trouve tous les irrationnels équivalents à un irrationnel donné.</ref>) : Modèle:Théorème

Par exemple :

• puisque <math>\sqrt5</math> est irrationnel Modèle:Infra, <math>-\sqrt5</math> et le nombre d'or <math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}2</math> le sont aussi ;
• pour tout angle <math>\theta</math> tel que <math>\cos(2\theta)</math> soit irrationnel, les nombres <math>\cos\theta</math>, <math>\sin\theta</math> et <math>\tan\theta</math> sont irrationnels<ref>Modèle:Harvsp, Modèle:P..</ref>, d'après les identités trigonométriques <math>\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}</math>.

En revanche, la somme et le produit de deux irrationnels peuvent être rationnels : par exemple, <math>-\sqrt5+\sqrt5=0</math> et <math>-\sqrt5\times\sqrt5=-5</math>.

Un irrationnel (strictement positif) élevé à une puissance irrationnelle peut être rationnel<ref group=N>Par exemple Modèle:Math alors que Modèle:Math et Modèle:Math sont irrationnels Modèle:Infra.</ref> ou irrationnel, voire transcendant<ref group=N>Le théorème de Gelfond-Schneider en fournit toute une famille d'exemples.</ref>. D'après la sous-section suivante, on a même : pour tout réel Modèle:Math différent de Modèle:Math, Modèle:Mvar est transcendant pour « presque tous » les réels Modèle:Mvar (tous sauf un ensemble dénombrable), en particulier pour « presque tout » irrationnel Modèle:Mvar.

Cardinalité

L'ensemble ℝ\ℚ des irrationnels a la puissance du continu, c'est-à-dire qu'il est en bijection avec ℝ, comme le prouve, au choix, l'un des trois arguments suivants :

• ℝ est indénombrable<ref name=Cantor group=N>Voir la section « Travaux » de l'article sur Georg Cantor.</ref> (et même équipotent à l'ensemble des parties de ℕ) tandis que ℚ est dénombrable ;
• le sous-ensemble de ℝ\ℚ constitué des réels transcendants a déjà la puissance du continu, puisque l'ensemble des réels algébriques est encore dénombrable<ref name=Cantor group=N/> ;
• le développement d'un irrationnel en fraction continue fournit une bijection entre ℝ\ℚ et l'ensemble ℕ^ℕ de toutes les suites d'entiers positifs.

Propriétés topologiques

Les parties ℚ et ℝ\ℚ sont toutes les deux denses pour l'ordre dans ℝ et a fortiori denses pour la topologie usuelle de ℝ. Pour tous réels <math>a < b</math>, il existe un isomorphisme d'ordres entre ℚ<math>~\cap~]a, b[</math> et ℚ (c'est un cas particulier d'un théorème de Cantor, immédiat si <math>a</math> et <math>b</math> sont rationnels). Par prolongement canonique, ceci montre que l'ensemble des irrationnels de <math>]a, b[</math> est — au sens de l'ordre et a fortiori au sens topologique — dense dans <math>]a, b[</math> et isomorphe à ℝ\ℚ.

Alors que ℝ est connexe, le sous-espace des irrationnels est totalement discontinu (puisqu'il ne contient aucun intervalle non trivial).

Dans ℝ, les irrationnels forment un G_δ (c'est-à-dire une intersection dénombrable d'ouverts) mais pas un F_σ (c'est-à-dire une union dénombrable de fermés)<ref group=N>En effet, les rationnels forment un F_σ mais pas un G_δ : voir la section « Propriétés élémentaires » de l'article « Hiérarchie de Borel ».</ref>. Autrement dit<ref group=N>Pour cette équivalence, voir la section « Ensemble des discontinuités d'une fonction » de l'article « Classification des discontinuités ».</ref> : l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction à valeurs réelles peut être égal à ℚ<ref group=N>C'est le cas par exemple de la fonction de Thomae.</ref> mais pas à ℝ\ℚ<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Alors que l'espace métrique ℝ est complet, le sous-espace des irrationnels ne l'est pas (puisqu'il n'est pas fermé dans ℝ). Cependant, par la bijection évoquée ci-dessus, cet espace topologique est homéomorphe à l'espace métrique complet <math>\N^\N</math>, appelé l'espace de Baire. Ceci démontre que le théorème de Baire s'applique aussi à l'espace des nombres irrationnels.

Exemples de nombres irrationnels et de preuves d'irrationalité

Prouver qu'un réel <math> x </math> est irrationnel, c'est prouver qu'il n'existe aucun couple d'entier <math> (p,q) </math> tel que <math> x = \frac pq</math>, or un résultat d'inexistence sur un cas particulier est généralement bien plus difficile à établir qu'un résultat d'existence<ref>Modèle:Ouvrage, § 1 : Modèle:Lang.</ref>. Ainsi même s'il est possible de montrer qu'un réel <math> x </math> ne peut pas s'écrire sous la forme <math> x = \frac pq</math> où <math> p </math> et <math> q </math> sont inférieurs à une certaine constante <math> C </math>, cela ne suffit pas pour prouver son irrationalité. Par exemple, on sait que si la constante d'Euler-Mascheroni est rationnelle alors ce ne peut être qu'une fraction dont le dénominateur comporte au moins Modèle:Unité<ref group=N>Voir la section « Valeur approchée et propriétés » de l'article « Constante d'Euler-Mascheroni ».</ref> mais même si cela conduit à supposer son irrationalité, cela n'en constitue aucunement une preuve. Il existe cependant plusieurs techniques de démonstration qui ont permis de statuer sur l'irrationalité de certains cas particuliers.

Irrationalité de nombres manifestement algébriques

Exemple préliminaire

Modèle:Article détaillé Le nombre Modèle:Racine est l'un des premiers dont on ait prouvé l'irrationalité. Celle-ci peut en effet être obtenue grâce à des considérations élémentaires de parité<ref name="HardyWright4"/><ref group=N>Cette preuve est traditionnellement attribuée à Pythagore, bien que l'on ne sache pas si elle est de lui ni s'il s'agit de la première à avoir été proposée Modèle:Supra.</ref> : Modèle:Démonstration/début On raisonne par l'absurde. Supposons que <math>\sqrt2</math> soit un nombre rationnel, il existe alors deux entiers <math>a</math> et <math>b</math> premiers entre eux tels que <math>\sqrt2 = \frac{a}{b}</math> ce qui est équivalent à dire que <math>2b^2 = a^2</math>. L'entier <math>a^2</math> est donc pair, et par conséquent <math>a</math> est pair, ce qui s'écrit <math>a = 2k</math> où <math>k</math> est un entier. Mais alors comme <math>2b^2 = a^2</math>, il s'ensuit que <math>b^2 = 2k^2</math> et donc <math>b^2</math> et <math>b</math> sont pairs.

<math>a</math> et <math>b</math> sont donc tous les deux pairs et ne sont donc pas premiers entre eux. On a donc abouti à une contradiction en supposant <math>\sqrt2</math> rationnel. C'est donc un nombre irrationnel. Modèle:Démonstration/fin

Propriété des polynômes à coefficients entiers

• Lorsqu'un nombre algébrique est irrationnel, le théorème suivant permet souvent de le vérifier :

Il n'y a donc qu'un nombre fini de valeurs possibles, que l'on peut essayer à la main. Si aucun de ces rationnels n'est solution, toute solution est irrationnelle.

Exemples

• Les coefficients extrêmes du polynôme <math>X^2-X-1</math>, dont le nombre d'or <math>\varphi</math> est racine, sont <math>1</math> et <math>-1</math>, qui ne sont divisibles que par <math>\pm1</math>. Comme <math>1</math> et <math>-1</math> ne sont pas racines du polynôme, on retrouve ainsi Modèle:Supra, sans même résoudre l'équation du second degré, que <math>\varphi</math> est irrationnel.
• La racine réelle du polynôme <math>P(X)=4X^5+X-3</math> est strictement positive et ne fait pas partie de l'ensemble <math>\left\{\frac14,\frac12,\frac34,1,\frac32,3\right\}</math> (car P(3/4) < 0 < P(1)) ; elle est donc irrationnelle.
• Le nombre <math>\cos\left(\pi/9\right)</math> est racine du polynôme <math>8X^3-6X-1</math><ref group=N name=TheoWantzel/>, dont aucun rationnel n'est racine<ref group=N>Voir la section « Exemple de preuve d'irrationalité » de l'article « Racine évidente ».</ref>. Il est par conséquent algébrique de degré 3, donc irrationnel et même non constructible<ref group=N name=TheoWantzel/> (si bien que pour tout entier relatif <math>n</math>, <math>\cos\left(2^n\pi/9\right)</math>, <math>\sin\left(2^n\pi/9\right)</math> et <math>\tan\left(2^n\pi/9\right)</math> sont non constructibles)<ref group="N">Cela se déduit des identités trigonométriques classiques valables pour tout réel <math>a</math> : <math>\cos(2a) = 2\cos^2a- 1</math>, <math>\cos^2a+\sin^2a=1</math> et <math>1 + \tan^2a=\frac1{\cos^2a}</math>, ou encore, de la constructibilité des bissectrices.</ref>.

• Dans le théorème ci-dessus, si de plus <math>c_n=1</math>, alors <math>b=1</math> donc <math>x=a</math> (entier)<ref name=Niven4.3/>. Autrement dit : tout entier algébrique non entier est irrationnel<ref group=N>Pour une démonstration directe dans un cadre plus général, voir la [[Lemme d'Euclide#Fermeture intégrale|section Modèle:Nobr intégrale » de l'article « Lemme d'Euclide »]].</ref>. En particulier, on obtient ainsi une généralisation de la [[Racine carrée de deux#Par le lemme de Gauss|preuve de l'irrationalité de Modèle:Racine]] par le lemme de Gauss<ref name="HardyWright4"/> :

Nombre d'or : une seconde preuve

Toute fraction continue simple infinie représente un irrationnel, et si cette fraction continue est périodique alors l'irrationnel est quadratique Modèle:Supra.

La fraction continue la plus simple est celle du nombre d'or, que l'on peut obtenir directement à partir de l'équation <math>\varphi = 1 + \frac1\varphi</math> :

<math>\varphi = 1+ \cfrac 1{1 + \cfrac 1{1 + \cdots}}</math>.

On retrouve ainsi à nouveau que le nombre algébrique <math>\varphi</math> est irrationnel.

Fonctions trigonométriques

C'est un [[Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques#Rationalité|corollaire du calcul du degré des nombres algébriques Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math pour Modèle:Mvar rationnel]], mais on peut aussi le démontrer par une preuve sans mots utilisant la méthode de descente infinie dans un réseau à deux dimensions<ref>Modèle:YouTube, le théorème est prouvé à partir de 19 min 52 s à partir des méthodes montrées en début de vidéo.</ref>.

Irrationalité de nombres définis par leur développement décimal

Non-périodicité du développement dans une base

Tout rationnel ayant un développement périodique dans toute base, il suffit, pour prouver qu'un réel <math>x</math> est irrationnel, de montrer que dans une certaine base, son développement n'est pas périodique. Cela peut parfois être fait directement comme dans le cas du théorème suivant : Modèle:Théorème Ce théorème peut être démontré par l'absurde, en supposant périodique la suite des écarts entre nombres premiers consécutifs puis en obtenant une contradiction<ref>Consulter Modèle:Ouvrage</ref>.

Un autre exemple est donné par le théorème suivant : Modèle:Théorème On peut en effet montrer que la suite de Prouhet-Thue-Morse est sans cube, c'est-à-dire qu'aucun bloc ne se répète trois fois consécutivement : a fortiori son développement binaire est non-périodique et <math>\tau</math> est donc irrationnelle<ref group="N">De plus, Kurt Mahler a démontré en 1929 que la constante de Prouhet-Thue-Morse est un nombre transcendant<ref>Modèle:Article</ref>.</ref>.

Recherche de suites de zéros de longueur arbitraire dans le développement

Dans la pratique, la non-périodicité peut être obtenue en établissant l'existence de suites finies de <math>0</math> de longueur arbitraire<ref group="N">Dans le cas de la constante des nombres premiers Modèle:Supra, on aurait pu aussi montrer l'irrationalité de la constante des nombres premiers en utilisant le fait que pour tout entier <math>n\ge2</math>, les <math>n - 1</math> entiers consécutifs <math>n! + 2, \dots, n! + n </math> sont tous composés.</ref><ref group =N>Certains développements non-périodiques peuvent cependant ne pas comporter de séquences de 0 arbitrairement longues. Par exemple le développement binaire de la constante de Thue-Prouhet-Morse Modèle:Supra étant sans cube, on n'y trouve jamais trois 0 consécutifs.</ref>. En effet si le nombre est périodique il ne peut comporter des séquences de zéros plus longues que la longueur de sa période à moins d'avoir un développement décimal fini.

Une application élémentaire est fournie par le résultat suivant : Modèle:Théorème En effet, son développement en base <math>10</math> n'est pas périodique parce qu'il contient les entiers de la forme <math>10^k+1</math> pour <math>k</math> arbitrairement grand, et donc des suites de <math>0</math> finies arbitrairement longues. Ce nombre est en fait même normal et transcendant.

Un exemple moins trivial est le suivant : Modèle:Théorème La constante de Copeland-Erdős est définie par <math>C=\sum_{n=1}^\infty p_n10^{-\left(n+\sum_{k=1}^nE(\log_{10}{p_k})\right)}</math> où <math>p_k</math> est le k-ième nombre premier, et où <math>E(\log_{10}{p_k})</math> est la partie entière de son logarithme décimal. C'est-à-dire que le développement décimal de la constante de Copeland-Erdős est la concaténation des éléments de la suite des nombres premiers.

On montre l'irrationalité de <math>C</math> en exhibant des suites de zéros arbitrairement longues.

Modèle:Démonstration/début Pour tout entier naturel <math>s</math>, d'après le théorème de la progression arithmétique, la suite arithmétique <math>\left(k.10^{s+1}+1\right)_{k\in\N^*}</math> contient une infinité de nombres premiers, donc au moins un. Il existe donc au moins un nombre premier dont l'écriture en base dix contient une succession d'au moins <math>s</math> zéros, encadrée par deux chiffres autres que <math>0</math> (le second étant <math>1</math>). Le développement décimal de <math>C</math> contient ainsi des suites de zéros finies mais arbitrairement longues, ce qui prouve qu'il n'est pas périodique, et donc que <math>C</math> n’est pas rationnel. Modèle:Démonstration/fin

L'irrationalité de <math>C</math> peut également se déduire du résultat plus général, mais plus difficile à démontrer, selon lequel la constante de Copeland-Erdős est un nombre normal en base 10, joint à la propriété élémentaire suivante : Modèle:Théorème

Sommes de séries

Irrationalité de Modèle:Math

Modèle:Théorème Fourier redémontre ce résultat d'Euler en utilisant le développement en série entière de la fonction exponentielle, évalué en <math>1</math> : <math>\mathrm e=\sum_{n=0}^\infty\dfrac1{n!}</math>.

Cela lui permet de montrer que pour tout entier Modèle:Math, le nombre Modèle:Math a une partie fractionnaire non nulle donc n'est pas entier, et donc que Modèle:Math n'est pas rationnel<ref>Modèle:Youtube.</ref>.

Plus généralement :

• la même méthode<ref name=Niven23>Modèle:Harvsp, Modèle:P..</ref> permet de prouver que pour tout entier Modèle:Math (et donc aussi pour tout rationnel Modèle:Math), Modèle:Math est irrationnel ;
• pour toute suite <math>(b_n)_{n\in\N}</math> bornée de nombres entiers, les nombres réels <math>\Sigma_{n\geq 0} \frac{b_n}{n!}</math> et <math>\Sigma_{n\geq 0} \frac{b_n 2^n}{n!}</math> ne sont rationnels que si la suite <math>(b_n)_{n\in\N}</math> stationne à 0<ref name="Boyer">Modèle:Ouvrage.</ref>.

Irrationalité de la constante d'Apéry

Modèle:Article détaillé Il est possible Modèle:Supra de prouver l'irrationalité d'un réel Modèle:Mvar en exhibant une suite de rationnels <math>\frac{p_n}{q_n}\ne x</math> convergeant vers Modèle:Mvar « suffisamment vite », c'est-à-dire telle que, pour un certain Modèle:Math, on ait <math>\left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| < \frac1{q_n^\mu}</math> pour tout Modèle:Mvar. C'est grâce à une telle technique que Roger Apéry a montré en 1978 le résultat suivant, sur l'image de 3 par la [[Fonction zêta de Riemann|fonction Modèle:Math de Riemann]] : Modèle:Théorème

Séries à croissance exponentielle double

Dans le cas des suites à croissance double exponentielle, on dispose du théorème suivant<ref>Modèle:Article</ref>: Modèle:Théorème</math> et <math>(b_k)_{k\in\mathbb{N}}</math> deux suites d'entiers positifs tels qu'au delà d'un certain rang on ait pour tout <math>n</math> l'inégalité <math>a_{n+1} \geq \frac{b_{n+1}}{b_n}a_n^2 - \frac{b_{n+1}}{b_n}a_n + 1</math>. Si la série <math>\sum^{+\infty}_{k=0} \frac{b_n}{a_n}</math> converge vers un nombre rationnel, alors on a pour tout <math>n</math> au-delà d'un certain rang <math>a_{n+1} = \frac{b_{n+1}}{b_n}a_n^2 - \frac{b_{n+1}}{b_n}a_n + 1</math> : l'inégalité large est en fait une égalité<ref group = N>La série des inverses des termes de la suite de Sylvester est un exemple d'une telle série convergeant vers un rationnel, puisqu'elle converge vers 1.</ref>. |style=display:table}} En considérant la suite <math>(b_k)_{k\in\mathbb{N}}</math> constante égale à 1, la contraposée de ce théorème permet de prouver l'irrationalité de la somme des inverses des nombres doubles de Mersenne<ref group="N">En effet pour tout entier <math>n</math> on a <math>M_{M_n}^2 - M_{M_n} + 1 = \left (2^{2^n - 1} - 1 \right )^2 - 2^{2^n - 1} + 1 + 1 = 2^{2^{n+1}-2}-2^{2^n}-2^{2^n - 1} + 3</math> et donc <math>M_{M_n}^2 - M_{M_n} + 1 < 2^{2^{n+1}-1} - 1 = M_{M_{n + 1}}</math>.</ref> mais pas de retrouver l'irrationalité de la série des inverses des nombres de Fermat, et ce bien que son terme général croisse comme une exponentielle double<ref group="N">En effet, pour tout entier <math>n</math>, on a <math>F_n^2 - F_n + 1 = \left ( 2^{2^n} + 1 \right )^2 - 2^{2^n} - 1 + 1 = 2^{2^{n+1}} + 2^{2^n} + 1</math> et donc <math>F_{n+1} = 2^{2^{n+1}} + 1 < F_n^2 - F_n + 1</math>. Les nombres de Fermat ne satisfont pas l'hypothèse du théorème, et on ne peut donc pas conclure.</ref> ; ce nombre est cependant bien irrationnel Modèle:Infra et même transcendant, ce qui fut démontré en 1967<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Schwarz, W.: Remarks on the irrationality and transcendence of certain series. Math. Scand. 20, 269–274 (1967)</ref>.

Autres séries

• La constante d'Erdős-Borwein <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n-1}\approx 1,606695</math>, obtenue comme la somme de la série des inverses des nombres de Mersenne, et la somme de la série des inverses des nombres de Fermat<ref name=gol>Modèle:Article.</ref><ref group = N>Suite Modèle:OEIS2C de l'OEIS.</ref> <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^{2^n}+1}\approx 0{,}596</math> sont irrationnelles. En effet, des suites arbitrairement longues de zéros ont été mises en évidence dans leur développement en base 2. Le raisonnement mis en œuvre pour ce faire est cependant bien plus technique que dans les exemples précédents.
• En s'inspirant de la méthode d'Apéry Modèle:Supra, Richard André-Jeannin a démontré en 1989<ref>Modèle:Article.</ref> que la somme des inverses des nombres de Fibonacci<ref>Voir Modèle:MathWorld, ainsi que Modèle:OEIS2C (développement décimal) et Modèle:OEIS2C (fraction continue).</ref><ref group=N>Nommée par erreur « Constante de Prévost » par Modèle:Lien web, alors que l'article de Marc Prévost sur ce sujet ne date pas de Modèle:Citation mais de 1998.</ref> est irrationnelle.

Autres exemples

Irrationalité de Modèle:Math

Modèle:Article détaillé Modèle:Théorème Ivan Niven redémontre par l'absurde ce résultat de Lambert, en supposant que <math>\pi=\frac ab</math> avec <math>a</math> et <math>b</math> entiers et en construisant, à partir de cette hypothèse, une expression qui est égale à un nombre entier tout en pouvant être strictement comprise entre 0 et 1, ce qui est absurde. Supposer que <math>\pi</math> est rationnel conduit donc à une contradiction, et donc <math>\pi</math> est irrationnel.

Modèle:Démonstration/début Hardy et Wright, reprenant la méthode de Niven, démontrent de la façon suivante<ref name="HardyWright4">Modèle:Harvsp.</ref><ref>Modèle:Harvsp, Modèle:P..</ref> l'irrationalité de Modèle:Math, qui implique celle de Modèle:Math Modèle:Supra.

Considérons, pour tout entier naturel <math>n</math>, la fonction polynomiale <math>f_n</math> définie par <math>f_n(x)=\frac{x^n(1-x)^n}{n!}</math>. Ses dérivées jusqu'à l'ordre Modèle:Math prennent une valeur entière en Modèle:Math (donc aussi en Modèle:Math par symétrie) et la dérivée suivante est nulle.

Supposons que <math>\pi^2=\frac ab</math> avec <math>a</math> et <math>b</math> entiers strictement positifs et posons <math>G_n(x)=\sum_{k\in\N}(-b)^ka^{n-k}f_n^{(2k)}(x)</math>. D'après ce qui précède, <math>G_n(0)</math> et <math>G_n(1)</math> sont des entiers.

De plus, <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(G_n'(x)\sin(\pi x)-\pi G_n(x)\cos(\pi x)\right)=\left(G_n(x)+\pi^2G_n(x)\right)\sin(\pi x)=\pi^2a^nf_n(x)\sin(\pi x)</math> (par télescopage) donc

<math>\pi\int_0^1 a^n\sin(\pi x)f_n(x)\mathrm dx=\left[\frac{G_n'(x)\sin(\pi x)}{\pi}-G_n(x)\cos(\pi x)\right]_0^1=G_n(0)+G_n(1)\in\Z</math>.

Cependant, sur Modèle:Math, la fonction <math>x\mapsto\sin(\pi x)f_n(x)</math> est continue et strictement comprise entre Modèle:Math et <math>\frac1{n!}</math> donc <math>0<\pi\int_0^1 a^n\sin(\pi x)f_n(x)\,\mathrm dx<\pi\frac{a^n}{n!}</math>.

De plus, pour Modèle:Mvar suffisamment grand, <math>\pi\frac{a^n}{n!}<1</math> (la [[Fonction exponentielle#Par une série|série Modèle:Math]] est même convergente). L'entier <math>G_n(0)+G_n(1)</math> est alors strictement compris entre Modèle:Math et Modèle:Math, ce qui est absurde. Modèle:Démonstration/fin

Logarithmes d'entiers

Puisque (à part Modèle:Math) toute puissance rationnelle de Modèle:Math est irrationnelle Modèle:Supra, le logarithme népérien Modèle:Math de tout rationnel positif Modèle:Math est irrationnel<ref name=Niven23/>. Le nombre [[Logarithme décimal|Modèle:Math]] est lui aussi irrationnel puisqu'il n'existe pas d'entiers a, b ≠ 0 tels que 2^a = 10^b ; plus généralement, [[Logarithme|Modèle:Math_n m]] = Modèle:Sfrac est irrationnel<ref group = N>Le théorème de Gelfond-Schneider permet alors d'en déduire que Modèle:Sfrac est même transcendant.</ref> pour tous entiers m, n > 1 qui n'ont pas le même ensemble de facteurs premiers<ref name="HardyWright4"/> (ou encore : le même radical). Par exemple : Modèle:Math et [[Logarithme binaire|Modèle:Math]] sont irrationnels.

Problèmes ouverts

On ne sait pas si les nombres Modèle:Math et Modèle:Math sont ou non irrationnels<ref group=N>On sait cependant que l'un au moins de ces deux nombres est irrationnel et même transcendant, puisque leur somme, Modèle:Math, l'est ; on sait de même qu'un des deux nombres Modèle:Math et Modèle:Math est transcendant, car Modèle:Math et Modèle:Math sont racines du polynôme Modèle:Math.</ref>. On conjecture cependant que Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont ℚ-linéairement indépendants<ref group=N>Et même (Modèle:Cf. Conjecture de Schanuel) que Modèle:Math et Modèle:Math sont ℚ-algébriquement indépendants.</ref>.

On ne sait pas plus si Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, la constante de Khintchine ou la [[constante d'Euler-Mascheroni|constante Modèle:Math d'Euler-Mascheroni]] sont irrationnels. On ignore également, pour tout entier impair Modèle:Math, si [[fonction zêta de Riemann|Modèle:Math]] est irrationnel. En effet, pour les entiers positifs impairs<ref group = N>Les [[Fonction zêta de Riemann#Valeurs de la fonction zêta pour s entier pair non nul|images des entiers positifs pairs par la fonction Modèle:Math]] sont, elles, transcendantes.</ref>, seul le cas de Modèle:Math est connu grâce au théorème d'Apéry. Cependant, il a été prouvé que Modèle:Math prend une valeur irrationnelle pour une infinité de nombres impairs, dont au moins l'un des quatre nombres Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math ou Modèle:Math<ref group=N>Pour plus de détails, voir la [[Théorème d'Apéry#Généralisations|section « Généralisations » de l'article « Théorème Modèle:Nobr]]</ref>. De plus, des calculs en haute précision rendent extrêmement vraisemblable l'irrationalité et même la transcendance de tous ces nombres.

Certains problèmes ouverts d'autres domaines des mathématiques peuvent être exprimés comme des problèmes d'irrationalité. Par exemple, si la constante de Brun était irrationnelle, cela impliquerait la conjecture des nombres premiers jumeaux<ref group = N>En effet une somme finie de termes rationnels est rationnelsModèle:Supra. Par contraposée, si la série des inverses des nombres premiers jumeaux converge vers un nombre irrationnel, alors elle comporte une infinité de termes non nuls et il y a donc une infinité de nombres premiers jumeaux.</ref>.

Voir aussi

Article annexe

• Voyages au pays des maths

Bibliographie

Aspects mathématiques

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:HardyWrightFr, particulièrement les chapitres 4 (« Nombres irrationnels »), 9 (« L'écriture décimale des nombres »), 10 (« Fractions continues ») et 11 (« Approximations des irrationnels par des rationnels »). Modèle:Plume
• Modèle:Ouvrage. Modèle:Plume
• Modèle:Ouvrage. Modèle:Plume
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article

Aspects historiques

• Modèle:Ouvrage. Modèle:Plume
• Modèle:Ouvrage. Modèle:Plume
• Modèle:Ouvrage. Modèle:Plume
• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage. Modèle:Plume

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Modèle:YouTube